第八章 课时精练18向量数量积的运算律 (分值:100分) 单选题每小题5分,共25分;多选题每小题6分,共18分. 一、基础巩固 1.已知向量a,b满足|a|=2,a·b=-3,则a·(a-b)的值为 ( ) 4 5 6 7 2.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a·b=-,则向量a,b的夹角为 ( ) - 3.已知|a|=2,|b|=1,a与b之间的夹角为60°,那么|a-4b|= ( ) 2 2 6 12 4.已知|a|=3,|b|=2,且a,b的夹角为60°,如果(3a+5b)⊥(ma-b),那么m的值为 ( ) 5.如图,四边形ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,E,F分别为BC,CD的中点,则·= ( ) - - 6.已知非零向量a,b满足a⊥b,|a|=|b|=1,则|a+b|= . 7.已知e1,e2是互相垂直的单位向量,若e1+e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是 . 8.在△ABC中,AB=4,AC=3,且∠BAC=30°,点D为BC的中点,则AD的长为 . 9.(13分)已知向量|a|=1,|b|=2. (1)若a与b的夹角为,求|a+2b|; (2)若(2a-b)·(3a+b)=3,求a与b的夹角. 10.(14分)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2AD=2DC.证明:AC⊥BC. 二、综合运用 11.(多选)已知正三角形ABC的边长为2,设=2a,=b,则下列结论正确的是 ( ) |a+b|=1 a⊥b (4a+b)⊥b a·b=-1 12.(多选)八卦是中国文化的基本哲学概念,如图1是八卦模型图,其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH,其中OA=1,则下列结论正确的有 ( ) ·=- +=- ·=· 在上的投影为 13.(15分)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61. (1)求a与b的夹角θ; (2)若c=ta+(1-t)b,且b·c=0,求t及|c|. 三、创新拓展 14.(多选)定义两个非零平面向量a,b的一种新运算:a*b=|a|·|b|sin
,其中表示向量a,b的夹角,则对于非零平面向量a,b,则下列结论一定成立的是 ( ) (a+b)*(a+b)=a*a+2a*b+b*b (a*b)2+(a·b)2=|a|2·|b|2 a*b=0,则a∥b λ(a*b)=(λa)*b 向量数量积的运算律 1.D [由题意知，a·(a－b)＝a2－a·b＝4＋3＝7.] 2.A [设向量a，b的夹角为θ，则θ∈[0，π]， 因为|a|＝2，|b|＝1，a·b＝－， 所以cos θ＝＝＝， 所以向量a，b的夹角θ＝.] 3.B [∵|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝22－8×2×1·cos 60°＋16×12＝12， ∴|a－4b|＝2.] 4.C [由题意知(3a＋5b)·(ma－b)＝0， 即3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0， 3m·32＋(5m－3)×3×2·cos 60°－5×22＝0， 解得m＝.] 5.D [因为菱形ABCD的边长为2， ∠BAD＝60°， 所以·＝2×2·cos 60°＝2， 又因为＝＋ ＝＋， ＝＝(－)， 所以·＝(＋)· (－) ＝ ＝＝－.] 6. [由题意，知 |a＋b|＝＝＝.] 7.－ [因为|e1＋e2|＝＝2，|e1＋λe2|＝，且(e1＋e2)·(e1＋λe2)＝＋λ， 所以cos 60°＝＝， 解得λ＝－.] 8. [由题意得＝(＋)， ∴2＝(2＋2·＋2) ＝＝， ∴||＝.] 9.解 (1)|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2 ＝1＋4×1×2·cos＋4×4 ＝1＋4＋16＝21， 所以|a＋2b|＝. (2)因为(2a－b)·(3a＋b)＝3， 所以6a2－3a·b＋2a·b－b2＝3， 所以6a2－a·b－b2＝3， 所以6－1×2·cos〈a，b〉－4＝3， 所以cos〈a，b〉＝－. 因为0≤〈a，b〉≤π， 所以〈a，b〉＝. 10.证明 设＝a，＝b， 则＝a，且|a|＝2|b|， ∴＝＋＝b＋a， ＝＋＋＝－a＋b＋a ＝－a＋b， ∴·＝· ＝b2－a2 ＝b2－×4b2＝0， ∴⊥，∴AC⊥BC. 11.CD [分析知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角是120°，故B错误； ∵(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3， ∴|a＋b|＝，故A错误； ∵(4a＋b)·b＝4a·b＋b2 ＝4×1×2·cos 120°＋4＝0， ∴(4a＋b)⊥b，故C正确； a·b＝1×2·cos 120°＝－1， 故D正确.] 12.ABD [对于A，由题意得∠AOD＝×2π＝，|OA|＝|OD|＝1， 故·＝1×1·cos＝－，A正确； 对于B，∠BOA＝∠AOH＝， ∴∠BOH＝， 故|＋|＝＝， 则＋＝＝－，B正确； 对于C，||＝||，||＝||，而，的夹角为π－∠AHO，为钝角， ，的夹角为 ... ... 