章末复习提升 一、复数的概念 形如z＝a＋bi(a，b∈R)的复数，当b＝0时是实数，当b≠0时是虚数，当a＝0且b≠0时是纯虚数.其中a为实部，b为虚部，z的共轭复数＝a－bi. 例1 当实数a为何值时，z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i， (1)z为实数；(2)z为纯虚数； (3)z对应的点在第一象限内； (4)复数z对应的点在直线y＝x上？ _____ 训练1 (1)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为( ) A.0 B.－1 C.1 D.－2 (2)已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，i为虚数单位，若z1－z2＝0，则m的值为( ) A.4 B.－1 C.6 D.－1或6 二、复数的代数形式及运算 (1)复数的加减运算类似于实数的多项式加减运算(合并同类项). (2)复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质，在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘分母的共轭复数). 例2 计算： (1)(1－i)(1＋i)； (2)＋. _____ 训练2 计算： ＋－. _____ 三、复数的几何意义 复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)一一对应，与以原点为起点的向量一一对应.|z1－z2|则是复平面内复数z1，z2对应的点Z1，Z2之间的距离. 例3 设复数z满足|z|＝1，求|z－(3＋4i)|的最值. _____ 训练3 已知复数z1＝i(1－i)3. (1)求|z1|； (2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值. _____ 四、复数方程问题 在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法 (1)求根公式法 ①当Δ≥0时，x＝. ②当Δ<0时，x＝. (2)利用复数相等的定义求解 设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解. 例4 在复数范围内解下列方程. (1)x2＋5＝0； (2)x2＋4x＋6＝0. _____ 训练4 设关于x的方程是x2－(tan θ＋i)x－(2＋i)＝0， (1)若方程有实数根，求锐角θ和实数根； (2)证明：对任意θ≠kπ＋(k∈Z)，方程无纯虚数根. _____ 章末复习提升 例1 解 (1)z∈R，则a2－3a＋2＝0， 解得a＝1或a＝2. (2)z为纯虚数，则 即故a＝0. (3)z对应的点在第一象限， 则∴ ∴a＜0，或a＞2. ∴a的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞). (4)依题意得a2－3a＋2＝a2－2a， ∴a＝2. 训练1 (1)A (2)B [(1)因为z＝1＋i， 所以＝1－i， 所以z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0. (2)由题意可得z1＝z2， 即m2－3m＋m2i＝4＋(5m＋6)i. 根据两个复数相等的充要条件可得 解得m＝－1.] 例2 解 (1)原式＝(1－i)(1＋i) ＝(1－i2)＝2 ＝－1＋i. (2)原式＝＋＝＋＝1＋i. 训练2 解 原式＝＋－＝＋－1＝2－(i＋3)－1＝－2－i. 例3 解 由复数的几何意义知，|z|＝1表示复数z在复平面内对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，因而|z－(3＋4i)|的几何意义是求此圆上的点到点C(3，4)的距离的最大值与最小值. 如图，易知|z－(3＋4i)|max＝|AC|＝|OC|＋1＝＋1＝6， |z－(3＋4i)|min＝|BC|＝|OC|－1＝4. 训练3 解 (1)∵z1＝i(1－i)3＝i(1－i)2(1－i) ＝－2i(1＋i)＝2－2i， ∴|z1|＝＝2. (2)如图所示，由|z|＝1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O(0，0)的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，－2). 所以|z－z1|的最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值.由图知|z－z1|max＝|z1|＋r＝2＋1(r为圆半径). 例4 解 (1)因为x2＋5＝0，所以x2＝－5， 又因为(i)2＝(－i)2＝－5， 所以x＝±i， 所以方程x2＋5＝0的根为±i. (2)法一 因为x2＋4x＋6＝0， 所以(x＋2)2＝－2， 因为(i)2＝(－i)2＝－2， 所以x＋2＝i或x＋2＝－i， 即x＝－2＋i或x＝－2－i， 所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i. 法二 由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0， 所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根. 在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x ... ...
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