3.2.2双曲线的简单几何性质 教案（2课时打包）

第三章 圆锥曲线的方程 3.2.2双曲线的简单几何性质 第1课时 双曲线的简单几何性质 结合实例，能通过双曲线的标准方程确定双曲线的范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线、离心率等性质； 理解渐近线的定义，会利用渐近线画出双曲线的草图； 掌握双曲线的几何性质，会根据几何性质求出双曲线的标准方程； 通过参与课堂活动，激发学习数学的兴趣，提高审美情趣，培养勇于探索的精神. 重点:双曲线的简单几何性质及其应用. 难点:双曲线渐近线、离心率的应用. (一)创设情境 情境1：复习导入： 师生活动：教师给出双曲线定义和标准方程的部分内容，引导学生回顾与思考相关内容. 思考：双曲线的定义是什么？ 答：一般地，把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 思考：根据所学内容，填写下表： 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 焦点 ，，的关系 设计意图：通过让学生自主填空式复习，保持知识连贯，为本节课的内容做准备. 情境2：有一首歌，名字叫做《悲伤的双曲线》，歌词如下：如果我是双曲线，你就是那渐近线.如果我是反比例函数，你就是那坐标轴.虽然我们有缘，能够身在同一个平面；然而我们又无缘，漫漫长路无交点…… 你能通过歌词体会双曲线的几何性质吗？ 师生活动:教师出示歌词并提出问题，学生思考双曲线有哪些几何性质，尝试回答 ，教师不作评价. 设计意图:通过歌词意境，激发学生探求双曲线几何性质的兴趣，使学生主动、积极地参与到教学中来，为后续的学习做好准备. (二)探究新知 任务1:双曲线的简单几何性质 探究1：从双曲线的方程上,能看出双曲线的范围吗 如何得出双曲线的范围？ 师生活动:教师提出问题，并引导学生从双曲线的图形和方程两个角度探究双曲线的范围.学生通过观察双曲线的形状和由双曲线方程计算，得出双曲线的范围. 答：如图所示，观察双曲线，我们发现双曲线上点的横坐标的范围是，或，纵坐标的范围是. 下面利用双曲线的方程求出它的范围． 由方程可得 于是，双曲线上点的坐标都适合不等式 即 所以或，. 这说明双曲线位于直线及其左侧和直线及其右侧的区域. 设计意图:研究双曲线的范围，实质上是利用图形或方程确定双曲线上点的横、纵坐标的取值范围.通过研究双曲线的范围，让学生进一步掌握怎样利用方程研究曲线性质. 探究2:类比研究椭圆对称性的方法,如何研究双曲线的对称性 师生活动:教师提出问题，学生回答，教师进行总结. 答：从双曲线的图形上看：双曲线关于轴、轴和原点都是对称的．这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心． 从方程上看：在双曲线的标准方程中，以代换，方程不变.这说明当点在椭圆上时，它关于轴的对称点也在双曲线上，所以双曲线关于轴对称.同理，以代换，方程也不变，这说明如果点在双曲线上，那么它关于轴的对称点也在双曲线上，所以双曲线关于轴对称.以代，以代换，方程也不变，这说明当点在双曲线上时，它关于原点的对称点也在双曲线上，所以双曲线关于原点对称. 设计意图:通过类比椭圆对称性的研究方法，探究得出双曲线的对称性，让学生明确研究双曲线的对称性的实质是研究双曲线上点的对称，知道怎样通过方程判断曲线是否关于原点或坐标轴对称.培养学生的探究能力及数学抽象核心素养 . 探究3:椭圆有四个顶点,双曲线有几个顶点？ 师生活动:教师提出问题，并引导学生探究，提醒学生注意不同类型双曲线的顶点不同.学生完成关于双曲线的顶点的探究. 答：类比求椭圆顶点的方法，在方程中，令，得，因此双曲线和轴有两个交点．因为轴是双曲线的对称轴，所以双曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做 ... ...