8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 教案

第八章 立体几何初步 8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 1.通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握它们的表面积与体积的公式,并能简单应用. 2.利用表面积与体积公式能解决实际问题，并培养学生的实际应用能力. 3.通过学习感受一般化与特殊化、极限等数学思想方法，提高逻辑推理、直观想象等素养和空间想象等能力. 重点：棱台的表面积和体积公式． 难点：棱台、棱锥的体积公式的推导． （一）创设情境 国家游泳中心俗称水立方，场馆外观如同一个冰晶状的立方体，造型简洁现代.金字塔的造型是一个三棱锥，占地面积五万二千平方公尺，这些物体的表面积和体积是怎么计算的呢？我们一起探究一下吧. （二）探究新知 任务1：探究棱柱、棱锥、棱台的表面积公式. 思考：如何求一个多面体的表面积？如何求棱柱、棱锥、棱台的表面积呢？它们的展开图是怎样的呢？ 小组讨论： 1.先独立思考，再小组内进行讨论分享. 2.以小组形式汇报展示组内观点与结论,其他小组认证倾听之后进行点评. 答：将多面体的各个面的面积相加即可. 说一说：下面都是棱长为a的立体图形，这些几何体的表面积分别是多少？ 提示：以上几何体的各个面是什么形状，面积是怎么计算的呢？ 答： 思考：直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积如何计算呢？有更加简单的办法吗？ 设计意图：通过对之前知识的梳理，明确这节课要突破和学习的重点知识内容. 任务2：探究棱柱、棱锥、棱台的体积公式. 我们以前学习过正方体、长方体的体积公式.它们分别是什么？对柱体而言，又该如何求体积呢？ 师生活动：回顾旧知识，直观回答柱体的体积公式. 答：(a是正方体的边长) (a,b,c分别是长方体的长、宽、高) 设棱柱的底面积是S，高是h, 总结：对于直棱柱的体积等于底面积乘以高，侧棱柱的体积可以转化为直棱柱来解决，利用垂直于高的截面的面积乘以高即可. 棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这一点与垂足之间的距离. 思考：棱锥的体积计算公式是什么呢？ 答：一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么棱柱的体积是棱锥的体积的3倍. 设棱锥的底面积是S，高是h, . 棱锥的高是指从顶点向地面作垂线，顶点与垂足之间的距离. 设计意图：从熟悉的正方体和长方体的体积公式，得到一般的柱体的的体积计算公式，用类比的思想，由特殊到一般，发展学生的数学抽象的素养. 思考：棱台是由棱锥截成的，可以利用两个棱锥的体积查，得到棱台的体积计算公式.大家能自己推导一下么？ 师生活动：画示意图，利用相似，引导学生独立推导. 答：以三棱台为例，设 ，， ，， ，， 说一说：棱柱、棱锥、棱台的体积它们之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构 来解释这种关系吗？ 答：当棱台的上底面扩大到与下底面全等时，即, 棱台公式转化成了棱柱公式. 当棱台的上底面缩小到一个点时，即，棱台的体积公式转化为棱锥的体积公式. 设计意图：使学生思考棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系，这种关系的产生的原因，以及与自身结构特征之间的联系，培养学生思考、归纳、总结等数学学习习惯和能力，让学生理解体会到转化的思想方法. （三）应用举例 例1：一个漏斗的上部分是长方体，下面部分是一个四棱锥，两个部分的高都是0.5，公共面ABCD是边长为1的正方形，那么漏斗的容积是多少？ 解： 总结：解决计算组合体的体积的相关问题，重要的环节是可以将组合体的体积转化为基本几何体的体积，将未知向已知转化. 例2 四棱台的上、下底面均是正四边形，边长分别是6cm和10cm，侧面是全等的等腰梯形高是12cm，求它的表面积？ 解：如图所示，正四棱台A1B1C1D1-ABCD中A1B1＝6 cm，AB＝10 cm， 取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高. ∴ ∴， ， ， 总结：求多面体的表面积 ... ...