专题13 导数的应用--函数的极值问题5题型分类 1、函数的极值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 求可导函数极值的一般步骤 （1）先确定函数的定义域； （2）求导数； （3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． 注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号． ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点． （一） 函数极值、极值点的辨识 解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值． 题型1：函数极值、极值点的辨识 1-1．（2024·辽宁）设函数满足则时， A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值 【答案】D 【详解】函数满足， ，令， 则， 由，得，令， 则 在上单调递减，在上单调递增， 的最小值为. 又在单调递增， 既无极大值也无极小值，故选D. 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值及函数的求导法则. 【方法点睛】本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察导函数的“形状”，联想到函数，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论. 1-2．（2024高三·全国·专题练习）已知e为自然对数的底数,设函数,则． A．当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值 B．当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值 C．当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值 D．当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值 【答案】C 【详解】 当k=1时，函数f(x)=(ex 1)(x 1). 求导函数可得f′(x)=ex(x 1)+(ex 1)=(xex 1) f′(1)=e 1≠0，f′(2)=2e2 1≠0， 则f(x)在x=1处与在x=2处均取不到极值， 当k=2时，函数f(x)=(ex 1)(x 1)2. 求导函数可得f′(x)=ex(x 1)2+2(ex 1)(x 1)=(x 1)(xex+ex 2) ∴当x=1，f′(x)=0，且当x>1时，f′(x)>0，当x0
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