2024.11 嘉兴 “南中杯” 数学学科素养与创新能力竞赛 一、选择题 (每小题 3 分, 共 24 分) 1.已知 ,则下列等式中正确的是( ) A. B. C. D. 2. 若把抛物线 向右平移 2 个单位,所得抛物 线的表达式为( ) A. B. C. D. 3.如图,已知四边形 内接于 ,若 , 则 等于( ) A. B. C. D. 4.从长度为 的 4 条线段中任意选 3 条线段,这三条线段能够组成等腰三角形的概率是( ) A. B. C. D. 5. 已知关于 的二次函数 . 若 , 和 是抛物线上的两点,且 ,则 的取值范围为( ) A. B. C. 或 D. 6.如图,四边形 是菱形,边长为 . 点 从点 出发,沿 方向以每秒 个单位长度的速度运动,同时点 沿射线 的方向以每秒 1 个长度单位的速度运动,当点 运动到达点 时,点 也立刻停止运动,连接 的面积为 ,点 运动的时间为 秒,则能大致反映 与 之间的函数关系的图像是 ( ) 题3 题6 B. C. D. 7.抛物线 交 轴于点 , ,交 轴的负半轴于点 ,顶点为 ,下列结论: ① ；② ；③当 为任意实数时, ； ④ 方程 的两个根为 ; ⑤ 抛物线上有两点 和 ,若 ,且 ,则 . 其中正确的有( )个. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 题7 题8 题11 8.如图, 中, ,点 在 上, ,则 ( ) A. B. C. D. 二、填空题 (每小题 4 分, 共 24 分) 9.有两辆车按 1,2 编号, 洪、杨两位老师可任意选坐一辆车,则两位老师同坐 2 号车的概率为_____. 10.大自然是美的设计师,即使是一片小小的树叶,也蕴含着 “黄金分割”, 为 的黄金分割点 ,如果 的长度为 ,那么 的长度为_____cm. 11.如图, 是 的半径,弦 于点 ,连结 . 若 的半径为 , 的长为 ,则 的长是_____ . 12.已知,二次函数 在 上有最小值 4,则 _____. 13.已知: 如图,二次函数 的图象与 轴交于点 ,与 轴正半轴交于点 ,点 在以 点为圆心,2 个单位长度为半径的圆上, 点是 的中点,连接 ,则 的最小值为_____. 题13 题14 数学家菲尔贝提出借助图形代替演算的观点,这类图形称为 “诺模图”. 如图是关于 三者关系的诺模图,它是由点 出发的三条射线 组成,每条射线上都有相同的刻度,且射线端点刻度为 0,其中 . 点 对应的刻度值是 ,且 三点共线. (1)若 ,则 的值是_____； (2)若 ,则 _____. 三、解答题 (共 6 题, 第 15-18 题每题 8 分, 第 19、20 题每题 10 分, 共 52 分) 15.已知抛物线 . (1)求该图象的顶点坐标和对称轴. (2)自变量在什么范围内时, 随 的增大而增大. 16.第 19 届亚运会在杭州举行, 小聪和小明都是志愿者,他们被随机分配到 四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同. (1)小明被分配到 场馆做志愿者的概率是多少 (2)利用画树状图或列表的方法,求小聪和小明被分配到同一场馆做志愿者的概率. 17.如图,在直角坐标系中, 各顶点的坐标如下: . (1)以原点 为位似中心,在 轴上方作与 的位似比为 2 的位似图形 . (2)顶点 的坐标为_____, 与 的面积之比为_____. 18.在如图所示的方格纸中存在 ,其中,点 , 均在格点上. (1)用直尺作出 的外接圆圆心 . (2)若方格纸中每个小正方形的边长为 1,求 外接圆半径 的长. (3)在(2)的条件下,求出弧 的长度. 19.某超市购进甲、乙两种商品,已知购进 3 件甲商品和 2 件乙商品, 需 60 元; 购进 2 件甲商品和 3 件乙商品, 需 65 元. (1)甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？ (2)设甲商品的销售单价为 (单位:元/件),在销售过程中发现,当 时,甲商品的日销售量 (单位: 件) 与销售单价 之间存在一次函数关系, 之间的部分数值对应关系如表: 销售单价 (元/件) 11 19 日销售量 (件) 18 2 请写出当 时, 与 之间的函数关系式. 在(2)的条件下,设甲商品的日销售利润为 元,当甲商品的销售单价 (元/件) 定为多少时, 日销售利润最大 最大利润是多少 20.如图 1, 均为直角三角形, 与 相交于点 ,以 为直径的 恰好经过点 ,并分别于 交于点 和点 ,连接 . (1)求证: ； (2)如图 2, ... ...
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