圆锥曲线小题综合练 一、单项选择题 1．(★)(2024·长沙模拟)若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线－＝1的一个焦点，则p等于( ) A．2 B．10 C. D．2 答案 D 解析 抛物线的准线方程为x＝－，双曲线－＝1的左焦点为(－，0)，所以p＝2. 2．(★★)(2023·深圳模拟)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆x2＋y2－4y＋2＝0所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为( ) A. B. C．2 D. 答案 C 解析 圆的方程x2＋y2－4y＋2＝0可化为x2＋(y－2)2＝2， 则其圆心坐标为(0,2)，半径为. 双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x， 由对称性，不妨取y＝x，即bx－ay＝0. 圆心(0,2)到渐近线的距离d＝＝1， 又由点到直线的距离公式， 可得＝＝＝1，所以e＝2. 3．(★★)(2023·石家庄模拟)已知抛物线y2＝－2x上的两点A，B(点A的横坐标大于点B的横坐标)满足－＝λ(O为坐标原点，F为抛物线焦点)，弦AB的中点M的横坐标为－，则实数λ的值为( ) A. B. C．3 D．4 答案 D 解析 由题意可得抛物线y2＝－2x的焦点F，直线AB的斜率存在． 由－＝λ，可得＝λ，即直线AB过抛物线的焦点F， 设直线AB的方程为y＝k，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1>x2)， 联立 消去y得k2x2＋(k2＋2)x＋＝0， ∴x1x2＝， 又∵弦AB的中点M的横坐标为－， ∴x1＋x2＝－， ∴x1＝－，x2＝－， ∴点A到准线的距离为|FA|＝|x1|＋＝， 点B到准线的距离为|FB|＝|x2|＋＝2，又|AB|＝|FA|＋|FB|＝， ∴＝， 又＝λ，故λ＝4. 4．(★★)(2023·衡水模拟)已知椭圆C1和双曲线C2有相同的左、右焦点F1，F2，若C1，C2在第一象限内的交点为P，且满足∠POF2＝2∠PF1F2，设e1，e2分别是C1，C2的离心率，则e1，e2的关系是( ) A．e1e2＝2 B．e＋e＝2 C．e＋e1e2＋e＝2 D．e＋e＝2ee 答案 D 解析 如图， 因为∠POF2＝∠PF1F2＋∠F1PO， ∠POF2＝2∠PF1F2， 所以∠PF1F2＝∠F1PO， 所以|OF1|＝|OP|＝|OF2|＝c， 所以PF1⊥PF2， 记椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，|PF1|＝m，|PF2|＝n， 则由椭圆和双曲线定义可得m＋n＝2a1，① m－n＝2a2，② ①2＋②2可得2(m2＋n2)＝4(a＋a)， 由勾股定理知m2＋n2＝4c2，代入上式可得2c2＝a＋a， 整理得＋＝2，即＋＝2， 所以e＋e＝2ee. 二、多项选择题 5．(★★)(2024·温州模拟)已知椭圆C：＋＝1，F1，F2分别为它的左、右焦点，A，B分别为它的左、右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有( ) A．存在点P使得∠F1PF2＝ B．cos∠F1PF2的最小值为－ C．若PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为9 D．直线PA与直线PB的斜率乘积为定值 答案 ABC 解析 由椭圆的方程＋＝1， 可得a＝5，b＝3， ∴c＝＝＝4. A中，设P(x，y)，若∠F1PF2＝，则直线PF1，PF2互相垂直，则×＝－1，即y2＝16－x2， ∵＋＝1，∴＋＝1， 解得x＝±，∴存在点P使得∠F1PF2＝，故A正确； B中，设|PF1|，|PF2|的长分别为p，q.则在△F1PF2中， cos∠F1PF2＝ ＝＝ ＝＝－1≥－1＝－1 ＝－1＝－， 当且仅当p＝q＝a＝5时取等号， ∴cos∠F1PF2的最小值为－，故B正确； C中，由∠F1PF2＝90°，可得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 即(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝|F1F2|2， ∴|PF1||PF2|＝＝2×(25－16)＝18， ∴＝|PF1||PF2|＝×18＝9，故C正确； D中，当P不为椭圆的左、右顶点时，设P(x0，y0)，y0≠0，可得＋＝1， 由椭圆的方程可得A(－5,0)，B(5,0)， 则kPA·kPB＝·＝＝＝－，故D不正确． 6．(★★)(2024·济南质检)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，点P在l上的射影为P1，则( ) A．若x1＋x2＝6，则＝8 B．以PQ为直径的圆与准线l相切 C．设M，则＋≥ D．过点M与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条 答案 ABC ... ...
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