2025人教B版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--5.5　数学归纳法

中小学教育资源及组卷应用平台 2025人教B版高中数学选择性必修第三册 *5.5　数学归纳法 基础过关练 题组一　用数学归纳法证明等式 1.(2023上海财经大学附属中学期末)用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)·(2n+1)(n>1,n∈N+)时,从n=k到n=k+1,等式左边需增添的项是(　　) A.2k+2 B.2(k+1)+1 C.(2k+2)+(2k+3) D.[(k+1)+1][2(k+1)+1] 2.用数学归纳法证明1-+…++…+(n∈N+)时,第一步应验证的等式是　　　　　　. 3.用数学归纳法证明:12+22+32+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+32+22+12= n(2n2+1)(n∈N+). 题组二　用数学归纳法证明不等式 4.(2024辽宁沈阳二中月考)用数学归纳法证明不等式:+…+时,从n=k到n=k+1,不等式左边需要增加的项为(　　) A. C. 5.(2024浙江杭州第二中学期末)用数学归纳法证明:f(n)=1++…+(n∈N*)的过程中,从n=k到n=k+1,f(k+1)比f(k)共增加了(　　) A.1项　　　　 B.(2k-1)项　　　　 C.2k+1项　　　　D.2k项 6.(2023上海进才中学月考)用数学归纳法证明对任意n>k(n,k∈N)的自然数都成立,则k的最小值为(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4 7.对于不等式≤n+1(n∈N+),某学生的证明过程如下: (1)当n=1时,≤1+1,不等式成立. (2)假设n=k(k≥1)时,不等式成立,即≤k+1,则当n=k+1时,=(k+1)+1,所以当n=k+1时,不等式成立. 上述证法中(　　) A.过程全都正确 B.n=1的验证不正确 C.归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确 8.(2022浙江绍兴柯桥第二次适应性考试)已知等差数列{an}中,a2=5,a1+a2+a3=a7.正项数列{bn}的前n项和Sn满足:对任意n∈N+,bn-1,,bn+2成等比数列. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)记cn=,n∈N+,证明:对任意n∈N+,都有c1·c2·…·cn>. 题组三　用数学归纳法解决归纳—猜想—证明 问题 9.观察下列等式: 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 按照以上式子的规律: (1)写出第五个等式,并猜想第n(n∈N+)个等式; (2)用数学归纳法证明上述所猜想的第n(n∈N+)个等式成立. 10.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2-an(n∈N+). (1)计算a1,a2,a3,a4,并猜想an; (2)用数学归纳法证明你的猜想. 11.(2022河南郑州期末)已知数列{an}满足:a1=,an+1an+2an+1=2an(n∈N+). (1)计算a2,a3,a4的值; (2)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明. 能力提升练 题组一　用数学归纳法证明等式(不等式) 1.已知f(n)=(2n+7)·3n+9,若存在自然数m,使得对任意n∈N+, f(n)都能被m整除,则m的最大值为(　　) A.30　　　　B.9　　　　C.36　　　　D.6 2.(多选题)(2023山东潍坊期中)斐波那契数列又称黄金分割数列,因意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”.在数学上,斐波那契数列被以下递推的方法定义:数列{an}满足a1=a2=1,an+2=an+1+an(n∈N*),则下列结论正确的是(　　) A.a8=13 B.a2 023是奇数 C.+…+=a2 021a2 022 D.a2 022被4除的余数为0 3.(2023广东燕博园综合能力测试)已知数列{an}的前n项和为Sn,且S1+2S2+3S3+…+nSn=n3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=nan,且数列{bn}的前n项和为Tn,求证:当n≥3时,Tn≤-4. 4.已知等差数列{an}的公差d不为零,且a3=3,a1,a2,a4成等比数列,数列{bn}满足b1+2b2+…+nbn=2an(n∈N+). (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)求证:+…+(n∈N+). 5.已知数列{an}和{bn}满足a1=2,b1=1,且对任意正整数n恒满足2an+1=4an+2bn+1,2bn+1=2an+4bn-1.求证: (1){an+bn}为等比数列,{an-bn}为等差数列; (2)+…+<2n-2(n>1,n∈N+). 题组二　用数学归纳法解决归纳—猜想—证明 问题 6.已知数列{an}满足a1=2,an+1=-nan+1(n∈N+). (1)求a2,a3,a4,由此猜想出{an}的一个通项公式,并给出证明; (2)用数学归纳法证明:当n>1时,+…+. 7.已知数列{an}和{bn},其中an=1+3+5+…+(2n+1),bn ... ...