河南省洛阳市强基联盟2024-2025学年高二上学期12月月考试题 数学（含解析）

河南省洛阳市强基联盟2024-2025学年高二上学期12月月考试题 数学含解析 洛阳强基联盟高二12月联考 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在等差数列中，，，则（ ） A.1 B.0 C. D. 2.双曲线C：的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3.顶点在原点，关于y轴对称，并且经过点的抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 4.已知等差数列的前n项和为，若，则的最大值为（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 5.已知数列中，则数列前2024项的和为（ ） A.0 B.1012 C.2024 D.4048 6.若椭圆E：的周长为C，则（ ） A. B. C. D. 7.已知直线l：与双曲线C：交于A，B两点，点是弦AB的中点，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8.已知抛物线E：的准线交y轴于点M，过点M作直线l交E于A，B两点，且则直线l的斜率是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列数列中，为递增数列的是（ ） A. B. C. D. 10.已知点A，B是椭圆C：上关于原点对称且不与C的顶点重合的两点，，分别是C的左、右焦点，O为原点，则（ ） A.C的离心率为 B. C.的值可以为3 D.若的面积为，则 11.已知P为圆：上任意一点，，线段的垂直平分线交直线于点M，记点M的轨迹为曲线H，设，在曲线H上，且，，，则（ ） A.曲线H的方程为 B.曲线H的离心率为 C.经过且与曲线H只有一个公共点的直线恰有两条 D.四边形面积的最小值为8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知椭圆的焦距为2，则_____. 13.若数列满足，且，为其前n项和，则的最小值为_____. 14.已知抛物线C：，P为抛物线C上任意一点，过点P向圆D：作切线，切点分别为A，B，则的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分） 已知是数列的前n项和，若，是等差数列，. （1）求； （2）求数列的通项公式. 16.（本小题满分15分） 已知两点，，动点P在y轴上的射影是H，. （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）设直线l：与曲线C相交于A，B两点，当m为何值时，以线段AB为直径的圆经过点. 17.（本小题满分15分） 已知等差数列的前n项和为，. （1）求证：数列是等差数列； （2）若是递增数列，，，求证：. 18.（本小题满分17分） 设F为抛物线C：的焦点，，，为C上三个不同的点，且，. （1）求C的方程； （2）设过点F的直线l交C于P，Q两点. ①若直线l交圆于M，N两点，其中P，M位于第一象限，求的最小值； ②过点F作l的垂线m，直线m交C于A，B两点，设线段PQ，AB的中点分别为D，E，求证：直线DE过定点. 19.（本小题满分17分） 已知O为坐标原点，椭圆C：的左、右焦点分别为，，，P为椭圆C的上顶点，以P为圆心且过，的圆与直线相切. （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知直线l交椭圆C于M，N两点，若直线l的斜率等于1，求面积的最大值. 洛阳强基联盟高二12月联考·数学 参考答案、提示及评分细则 1.A 由等差数列的性质可知，所以.故选A. 2.B 由题意知，，双曲线C的焦点在y轴上，其渐近线的方程为，即.故选B. 3.C 由题意设抛物线方程为，将代入得，所以所求抛物线方程为.故选C. 4.B 因为所以，又，当且仅当时取等号，所以的最大值为4.故选B. 5.C 因为，，所以，，，，，…，所以数列是周期为4的周期数列，且，所以.故选C. 6.D 把化为标准方程为，以长轴为直径的圆周长为，边平行于E的对称轴的外切矩形的周长为，所以，，所以A，C错误； 以短轴为直径的圆周长为，以长轴和短轴为对角线的菱形的周长为，所以，，所以B错误，D正确.故选D. 7.D 设，，可得，，两式相减可得，点是弦AB的中点 ... ...