2024-2025学年湖南省岳阳市汨罗一中高三（上）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.若，，且，则( ) A. B. C. D. 3.复数满足：其中是虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4.已知，，则“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.已知离心率为的双曲线与椭圆有相同的焦点，则( ) A. B. C. D. 6.设函数在区间恰有三个极值点，两个零点，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 7.函数是定义在上的奇函数，满足，当时，，则( ) A. B. C. D. 8.已知函数，对任意，，不等式恒成立，则的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列等式恒成立的是( ) A. B. C. D. 10.已知函数和且，若两函数图像相交，则其交点的个数可能是( ) A. B. C. D. 11.定义：为集合相对常数的“余弦方差”，若，则集合相对的“余弦方差”的取值可能为( ) A. B. C. D. 12.设是定义在上的可导函数，其导数为，若是奇函数，且对于任意的，，则对于任意的，下列说法正确的是( ) A. 都是的周期 B. 曲线关于点对称 C. 曲线关于直线对称 D. 都是偶函数 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.函数的图象在处的切线方程为_____． 14.已知函数，若，且，则的取值范围是_____． 15.若函数满足在定义域内的某个集合上，对任意，都有是一个常数，则称在上具有性质设是在区间上具有性质的函数，且对于任意，，都有成立，则的取值范围为_____． 16.设函数，若恒成立，则的最小值为_____． 四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 记是公差不为的等差数列的前项和，若，． Ⅰ求数列的通项公式； Ⅱ求使成立的的最小值． 18.本小题分 已知向量，，函数． 求函数的最小正周期； 在中，角，，的对边分别为，，，的角平分线交于点，若恰好为函数的最大值，且此时，求的最小值． 19.本小题分 如图，在多面体中，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知，，． 求证：平面； 求平面与平面的夹角的余弦值． 20.本小题分 一个半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米已知水轮按逆时针做匀速转动，每秒转一圈，如果当水轮上点从水中浮现时图中点开始计算时间． 以过点且平行于水轮所在平面与水面的交线的直线为轴，以过点且与水面垂直的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点距离水面的高度单位：米表示为时间单位：秒的函数； 在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点距离水面的高度不低于米？ 21.本小题分 对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数，，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”． 若为实数，函数，是“跃点”函数，求的取值范围； 若为非零实数，函数，是“跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“跃点”，求的值； 若为实数，函数，是“跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“跃点”，求的取值范围． 22.本小题分 已知，． Ⅰ求的最小值． Ⅱ设，若当时，有三个不同的零点，求的最小值． Ⅲ当时，恒成立，求的取值范围． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.解：Ⅰ是公差不为的等差数列的前项和，若，． 根据等差数列的性质，，故， 根据可得， 整理得，可得不合题意， 故． Ⅱ，， ， ，即， 整理可得， 当或时，成立， 因为为正整数， 故的最小正值为． 18.解：向量，， 所以， 所以函数的最小正周期． 由可知， 当，即时，取得最大值为， 则，， 因 ... ...
