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课件网) 第六章 <<< 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示.(重点) 2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.(难点) 3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.(难点) 学习目标 上节课，我们根据平面向量基本定理，取平面直角坐标系中，与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，得到平面内任一向量a的坐标表示，即a=(x，y).从而我们得到向量加、减运算的坐标表示，那么平面向量的数乘运算的坐标表示是怎样的呢？ 导 语 一、数乘运算的坐标表示 二、向量共线的坐标表示及应用 课时对点练 三、三点共线问题 随堂演练 内容索引 四、向量数乘运算的综合应用 一 数乘运算的坐标表示 已知a=(x，y)，你能得出λa的坐标吗？ 问题1 提示 λa=λ(xi+yj)=λxi+λyj，即λa=(λx，λy). 已知a=(x，y)，则λa= ，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数 . (λx，λy) 乘原来向量的相应坐标 设向量a，b的坐标分别是(-1，2)，(3，-5)，求下列各向量的坐标： (1)2a+5b； 例 1 2a+5b=2(-1，2)+5(3，-5)=(-2，4)+(15，-25)=(13，-21). (2)3a-b. 3a-b=3(-1，2)-(3，-5)=(-6，11). 平面向量数乘运算的坐标关键在于利用公式进行程序化的代数运算. 反 思 感 悟 (1)已知向量a=(1，2)，2a+b=(3，2)，则b等于 A.(1，-2) B.(1，2) C.(5，6) D.(2，0) 跟踪训练 1 √ 方法一 (待定系数法)设b=(x，y)，则2a+b=2(1，2)+(x，y)=(2+x，4+y)=(3，2)， 即所以b=(1，-2). 方法二 b=(2a+b)-2a=(3，2)-2(1，2)=(3，2)-(2，4)=(1，-2). (2)已知向量a=(1，4)，b=(3，-2)，c=(10，m)，且c=a+λb，则m，λ的值分别为 . -2，3 因为c=a+λb， 所以(10，m)=(1，4)+λ(3，-2)=(1+3λ，4-2λ)，所以解得λ=3，m=-2. 二 向量共线的坐标表示及应用 向量a与非零向量b共线的充要条件是什么？如何用坐标表示两个向量共线？ 问题2 提示 向量a与非零向量b共线的充要条件是存在实数λ，使a=λb， 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，若向量a与b共线， 则有(x1，y1)=λ(x2，y2)， 即 消去λ，得x1y2-x2y1=0. 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0. 向量a，b共线的充要条件是 . 口诀：交叉相乘差为0. x1y2-x2y1=0 已知a=(λ+1，1)，b=(6，2)，且a∥b，则实数λ= . 例 2 ∵a∥b，∴2(λ+1)-1×6=0，∴λ=2. 反 思 感 悟 (1)利用向量共线定理，由a=λb(b≠0)推出a∥b. (2)利用向量共线的坐标表示，由x1y2-x2y1=0(a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，b≠0)直接判断a与b是否平行. 向量共线的判定方法 已知向量m=(2，λ)，n=(-1，3)，若(2m+n)∥(m-n)，则实数λ的值为 A.6 B.3 C.-3 D.-6 跟踪训练 2 √ 根据题意，向量m=(2，λ)，n=(-1，3)， 则2m+n=(3，2λ+3)，m-n=(3，λ-3). 若(2m+n)∥(m-n)，则λ-3=2λ+3，解得λ=-6. 三 三点共线问题 已知=(k，2)，=(1，2k)，=(1-k，-1)，且相异三点A，B， C共线，则实数k= . 例 3 - 由题知，=-=(1-k，2k-2)，=-=(1-2k，-3). 因为相异三点A，B，C共线，所以∥， 则-3(1-k)-(2k-2)(1-2k)=0， 解得k=-或k=1， 当k=1时，=，点A与点B重合，不符合题意，故k=-. 反 思 感 悟 (1)判定：判定三点是否共线，就是判断三点确定的两个向量是否共线，其理论依据是向量共线定理. (2)证明：证明三点共线一般分两步完成：①证明三点确定的两个向量平行；②说明两个向量对应的直线有公共点. 三点共线的判定与证明 已知O为坐标原点，=(1，1)，=(3，-1)，=(a，b). (1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系； 跟踪训练 3 因为=(1，1)，=(3，-1)， =(a，b)， 所以=-=(a-1，b-1)，=-=(2，-2)， 若A，B，C三点共线，则∥， 所以-2(a-1)-2(b-1)=0， 所以a+b=2. (2)若 ... ...
