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课件网) 培优课 第八章 <<< 与球有关的内切、外接问题 1.掌握简单几何体的外接球问题的求解方法.(重点) 2.会求特殊几何体的内切球的相关问题.(难点) 学习目标 与球有关的内切、外接问题是立体几何的一个重点(切、接问题的解题思路类似，此处以多面体的外接球为例).研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系. 导 语 一、直接法 二、构造法 课时对点练 三、寻求轴截面圆半径法 随堂演练 内容索引 四、确定球心的位置法 五、等体积法求内切球问题 直接法 一 (1)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，一个底面的周长为3，则这个球的体积为 . 例 1 设正六棱柱的底面边长为x，高为h， 则有∴ ∴正六棱柱的底面外接圆的半径r=， 球心到底面的距离d=. ∴外接球的半径R==1.∴V球=. (2)在三棱锥A-BCD中，侧棱长均为2，底面是边长为2的等边三角形， 则该三棱锥外接球的体积为 . 由题意知该三棱锥为正三棱锥，如图所示，O为底面△BCD的中心且AO垂直于底面△BCD，O'在线段AO上，O'为外接球球心， 令O'A=O'D=R， ∵OD=DE=×2×=2，AD=2， ∴AO==4， ∴OO'=4-R， 又OO'2+OD2=O'D2， ∴(4-R)2+4=R2，解得R=， ∴V球=πR3=. 找几何体的外接球球心，即找点O，使点O与几何体各顶点的距离相等.正棱锥的外接球球心在底面的垂线上，直棱柱的外接球球心为上、下底面外心所连线段的中点. 反 思 感 悟 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 A. B.16π C.9π D. 跟踪训练 1 √ 如图，设球心为O，半径为r，AE=，OE=4-r，则 在Rt△AOE中，(4-r)2+()2=r2(或(r-4)2+()2=r2)， 解得r=， ∴该球的表面积为4πr2=4π×=. 二 构造法 (1)三棱锥A-BCD的四个面都是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB=BC=2，且V三棱锥A-BCD=，则该三棱锥A-BCD外接球的体积为 . 例 2 4π 因为AB⊥BC，BC⊥CD，构造如图所示的长方体， 则AD为三棱锥A-BCD的外接球的直径.设外接球的半径为R. ∵V三棱锥A-BCD=××BC×CD×AB =×2×CD×2=， ∴CD=2，∴该长方体为正方体， ∴AD=2，∴R=， 故外接球的体积为V=πR3=4π. 若把条件改为三棱锥A-BCD的三个面是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥BD，AB=BC=2，且V三棱锥A-BCD=，则该三棱锥A-BCD外接球的体积为 . 延伸探究 4π 因为AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥BD， 构造如图所示的长方体， 则AE为三棱锥A-BCD的外接球的直径， 设外接球的半径为R. V三棱锥A-BCD=××BC×BD×AB =×2×BD×2=， ∴BD=2，∴该长方体为正方体， ∴AE=2，∴R=， ∴外接球的体积为V=πR3=4π. (2)“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体.已知AB=1，则关于图中的半正多面体，下列说法正确的有 A.该半正多面体的体积为 B.该半正多面体过A，B，C三点的截面面积为 C.该半正多面体外接球的表面积为8π D.该半正多面体的表面积为6+2 √ 如图，因为AB=1， 所以该半正多面体是由棱长为的正方体沿各棱中点 截去八个三棱锥所得到的， 所以该半正多面体的体积V=()3-8××××=，故A错误； 根据该半正多面体的对称性可知，过A，B，C三点的截面为正六边形ABCFED， 又AB=1，所以正六边形的面积S=6××1×1×=，故B错误； 根据该半正多面体的对称性可知， ... ...
