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课件网) 习题课 第八章 <<< 二面角的平面角的常见解法 1.掌握二面角的定义及其平面角的作法.(重点) 2.会使用定义法、垂面法、垂线法、射影面积法求二面角的大小.(难点) 学习目标 一、定义法求二面角 二、垂面法求二面角 课时对点练 三、垂线法求二面角 内容索引 四、射影面积法 随堂演练 定义法求二面角 一 定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图，∠AOB为二面角α-l-β的平面角. 如图，在三棱锥V-ABC中，VA=AB=VB=AC=BC=2，VC=，求二面角V-AB-C的大小. 例 1 取AB的中点D，连接VD，CD，如图所示. ∵在△VAB中，VA=VB=AB=2， ∴△VAB为等边三角形， ∴VD⊥AB且VD=， 同理CD⊥AB，CD=， ∴∠VDC为二面角V-AB-C的平面角， 由VC=，得△VDC是等边三角形，则∠VDC=60°，∴二面角V-AB-C的大小为60°. 利用二面角的定义，在二面角的棱上找一点，过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，解题时应先找平面角，再证明，最后在三角形中求平面角. 反 思 感 悟 如图，AB是圆O的直径，点P在圆O所在平面上的射影恰是圆O上的点C，且AC=2BC. (1)求证：BC⊥PA； 跟踪训练 1 ∵点P在圆O所在平面上的射影恰好是圆O上的点C，∴PC⊥平面ABC， ∵BC 平面ABC，∴BC⊥PC， 又AB是圆O的直径，有BC⊥AC， 且PC∩AC=C，PC，AC 平面PAC， ∴BC⊥平面PAC，又PA 平面PAC， ∴BC⊥PA. (2)求二面角B-PC-O的平面角的余弦值. ∵PC⊥平面ABC，BC，OC 平面ABC，∴PC⊥BC， PC⊥OC， ∴∠BCO为二面角B-PC-O的平面角. 设AC=2BC=2，则AB=，OA=OB=OC=，有 ∠BCO=∠OBC，则∠BCO为锐角， 在直角△ABC中，cos∠ABC===， 故cos∠BCO=， 故二面角B-PC-O的平面角的余弦值为. 二 垂面法求二面角 垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面各有一条交线，这两条交线所成的角即二面角的平面角.如图，∠AOB为二面角α-l-β的平面角. 如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA=AB，SB=BC，求二面角E-BD-C的大小. 例 2 ∵SB=BC且E是SC的中点， ∴BE是等腰△SBC底边SC的中线，∴SC⊥BE. 又已知SC⊥DE，BE∩DE=E，BE，DE 平面BDE， ∴SC⊥平面BDE，又BD 平面BDE，∴SC⊥BD. 又SA⊥平面ABC，BD 平面ABC， ∴SA⊥BD，而SC∩SA=S，SC，SA 平面SAC，∴BD⊥平面SAC. ∵平面SAC∩平面BDE=DE， 平面SAC∩平面BDC=DC， ∴BD⊥DE，BD⊥DC， ∴∠EDC是所求二面角的平面角. ∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC. 设SA=2，则AB=2，BC=SB=2. ∵AB⊥BC，∴AC=2，∴∠ACS=30°. 又已知DE⊥SC，∴∠EDC=60°. 即所求的二面角E-BD-C的大小为60°. 反 思 感 悟 二面角中如果存在一个平面与棱垂直，且与二面角的两个半平面交于两条射线，那么这两条射线所成的角即为该二面角的平面角. 如图，设P是二面角α-l-β内一点，P到平面α，β的距离PA，PB分别为8和5，且AB=7，求二面角α-l-β的大小. 跟踪训练 2 如图，作AC⊥l于C，连接BC，PC， ∵PA⊥α，l α，∴PA⊥l， 又AC⊥l，AC∩PA=A，AC，PA 平面PAC， ∴l⊥平面PAC，又PC 平面PAC，∴l⊥PC， ∵PB⊥β，l β，∴PB⊥l， 又PB∩PC=P，PB，PC 平面PBC， ∴l⊥平面PBC， ∴平面PAC与平面PBC重合，且l⊥BC， ∴∠ACB就是二面角α-l-β的平面角， 在△PAB中，PA=8，PB=5，AB=7， ∴cos∠APB==， ∴∠APB=60°，∴∠ACB=120°. 即二面角α-l-β的大小为120°. 垂线法求二面角 三 垂线法：过二面角的一个半平面内异于棱上的点A向另一个半平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为 ... ...
