第八章 习题课 异面直线所成的角及直线与平面所成的角的解法（课件+学案+练习，3份打包）

(课件网) 习题课 第八章 <<< 异面直线所成的角及直线与平面所成的角的解法 1.理解异面直线所成的角的概念，会运用平移的方法求异面直线所成的角.(重点) 2.掌握直线与平面所成角的求法.(难点) 学习目标 一、异面直线所成的角 二、直线与平面所成的角 课时对点练 三、折叠问题 随堂演练 内容索引 异面直线所成的角 一 　　　已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，母线长为6，PO=4，OA，OB是底面半径，且OA⊥OB，M为线段AB的中点，如图所示.求异面直线PM与OB所成角的余弦值. 例 1 如图，取OA的中点N，连接PN，MN，OM， 因为N为OA的中点，M为AB的中点，所以MN∥OB， 于是∠PMN(或其补角)是异面直线PM与OB所成的角. 因为M为AB的中点， OA=OB=2，且OA⊥OB， 则OM=AB=， 又PN===， PM===， 所以cos∠PMN= ==， 则异面直线PM与OB所成角的余弦值为. 可通过多种方法平移产生三角形，主要有三种方法：(1)直接平移法(可利用图中已有的平行线)；(2)中位线平移法；(3)补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线). 反 思 感 悟 求异面直线所成的角的方法 　　　　　如图，已知在三棱锥A-BCD中，AD=1，BC=，且AD⊥BC，BD=，AC=，求异面直线AC与BD所成角的大小. 跟踪训练 1 取AB，AD，DC，BD的中点分别为E，F，G，M，连接EF，FG，GM，ME，EG. 则MG=BC=，EM=AD=. 因为AD⊥BC，所以EM⊥MG. 在Rt△EMG中， EG==1. 由题图可知，∠EFG(或补角)为异面直线AC与BD所成的角. 在△EFG中，因为EF=BD=，FG=AC=， 且EF2+FG2=EG2， 所以EF⊥FG， 即AC⊥BD. 所以异面直线AC与BD所成的角为90°. 二 直线与平面所成的角 　　　如图，在三棱锥P-ABC中，PA=AC=BC，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，O为PB的中点，求直线CO与平面PAC所成角的余弦值. 例 2 如图，取PC的中点为E，连接EO，则OE∥BC. ∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC， ∴PA⊥BC.又AC⊥BC，AC∩PA=A，PA，AC 平面PAC， ∴BC⊥平面PAC.又OE∥BC， ∴OE⊥平面PAC， ∴∠OCE为直线CO与平面PAC所成的角. 设PA=AC=BC=2，则OE=1，CE=，OC=， ∴cos∠OCE==. ∴直线CO与平面PAC所成角的余弦值为. 反 思 感 悟 (1)作(或找)：作(或找)出斜线在平面上的射影，作射影要过斜线上斜足以外的一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与题目中已知量有关，这样才能便于计算. (2)证：证明某平面角就是斜线和平面所成的角. (3)算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算. 求斜线和平面所成的角的步骤 　　　　　已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，求侧棱和底面所成角的余弦值. 跟踪训练 2 如图，设正三棱锥S-ABC的底面边长为a，则侧棱长为2a. 设O为底面△ABC的中心， 则∠SAO为SA和平面ABC所成的角.在Rt△SOA中， 因为AO=×a=a， 所以cos∠SAO===， 即侧棱和底面所成角的余弦值为. 折叠问题 三 　如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥DC，如图2. (1)求证：BC⊥平面A1CD； 例 3 在题图2中，因为A1D⊥DE，A1D⊥DC，DE∩DC=D，DE，DC 平面BCDE， 所以A1D⊥平面BCDE. 又BC 平面BCDE，所以A1D⊥BC. 又BC⊥DC，A1D∩DC=D， A1D，DC 平面A1CD， 所以BC⊥平面A1CD. (2)当AD的长为多少时，异面直线DE，A1B所成的角最小？求出此时所成角的余弦值. 连接DB(图略)，设AD=A1D=x， 则DC=6-x，0