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课件网) 第八章 <<< 章末复习课 知识网络 知识网络 知识网络 一、几何体的表面积与体积 二、空间中的平行关系 三、空间中的垂直关系 四、空间角的求法 内容索引 几何体的表面积与体积 一 几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题，如制作物体的下料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算.特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在轴截面、底面圆的作用.割补法、构造法是常用的技巧. 已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC的体积的最大值为36，则球O的表面积为多少？ 例 1 ∵V三棱锥O-ABC=V三棱锥C-OAB， 且S△AOB为定值，∴当点C到平面OAB的距离最大时， V三棱锥O-ABC最大，即当点C位于垂直于球O的最大圆面 OAB的直径顶端时，三棱锥O-ABC的体积最大. 如图所示，设球O的半径为R，此时V三棱锥O-ABC=V三棱锥C-OAB=×R2·R= =36. ∴R=6. ∴球O的表面积S=4πR2=144π. (1)等积变换法：三棱锥也称为四面体，它的每一个面都可作为底面来处理，恰当地进行换底等积变换便于问题的求解. (2)割补法：“割”就是将几何体分割成几个熟悉的柱、锥、台体或它们的组合体；“补”就是通过补形，使它转化为熟悉的几何体. (3)展开法：将简单的几何体沿一条侧棱或母线展开成平面图形. (4)构造法：当探究某些几何体性质较困难时，我们可以将它放置在我们熟悉的几何体中，如正方体等这些对称性比较好的几何体，以此来研究所求几何体的性质. 反 思 感 悟 空间几何体的体积与表面积的计算方法 正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为 A.20+12 B.28 C. D. 跟踪训练 1 √ 作出图形，连接该正四棱台上、下底面的中心，如图，因为该四棱台上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2， 所以该棱台的高h==， 下底面面积S1=16，上底面面积S2=4， 所以该棱台的体积V=h(S1+S2+)=××(16+4+)=. 二 空间中的平行关系 立体几何中的平行问题有三类：一是线线平行，由基本事实4和面面平行的性质定理可以证明线线平行，由线面平行(或垂直)的性质定理可以证明线线平行；根据线线平行可以得出两条异面直线所成的角，可以证明线面平行等；二是线面平行，由线面平行的定义和判定定理可证明线面平行；三是两个平面平行，用定义和判定定理可以证明两个平面平行，或垂直于同一条直线的两个平面平行，或平行于同一个平面的两个平面平行；由面面平行可以得出线面平行和线线平行. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD= AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点. (1)求证：MN∥平面PAB； 例 2 由已知得AM=AD=2. 如图，取BP的中点T，连接AT，TN， 由N为PC的中点知TN∥BC，TN=BC=2. 又AD∥BC，故TN AM， 所以四边形AMNT为平行四边形， 所以MN∥AT. 因为AT 平面PAB，MN 平面PAB， 所以MN∥平面PAB. (2)求四面体N-BCM的体积. 因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，所以点N到平面ABCD的距离 为PA=2. 如图，取BC的中点E，连接AE. 由AB=AC=3得AE⊥BC， AE==. 由AM∥BC得点M到BC的距离为， 故S△BCM=×4×=2. 所以四面体N-BCM的体积 VN-BCM=S△BCM·=. 反 思 感 悟 平行关系的转化 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，MA∥PB，PB=2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由. 跟踪训练 2 当F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD， 证明如下：如图，连接BD与AC交于点O，连接FO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是BD的中点，又F ... ...
