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课件网) §2.3.3 点到直线的距离公式 版本：人民教育-出卷网-A版选择性必修第一册 创设情境 导入新知 济南市某创投基地二期工程建设即将开工，为了施工方便，需要在仓库和公路之间修一条路来运送物资，那么这条路至少需要多少千米？ 在平面直角坐标系中，如何求点 P 到直线 l 的距离 问题 x y P(1,3) l: y = 1 O 图1 x y P(1,3) l: x= -1 O 图2 x y P(-1,2) l: O 图3 Q 动手操作 合作探究 在平面直角坐标系中，如何求点 P (-1 , 2) 到直线 l : 的距离 请同学们先独立思考、自主计算，然后小组合作交流，说一说你们都用到了哪些方法。 最后请每个小组由一名学生代表展示计算方法。 合作探究 x y P(-1,2) l: O 图3 Q 动手操作 合作探究 x y P(-1,2) l: O 图3 Q 交点法 点到直线的距离 两点间距离 在平面直角坐标系中，如何求点 P (-1 , 2) 到直线 l : 4x+3y-12=0的距离 动手操作 合作探究 等积法 x y P(-1,2) l: O 图3 Q M N 在平面直角坐标系中，如何求点 P (-1 , 2) 到直线 l : 4x+3y-12=0的距离 §2.3.3 点到直线的距离公式 版本：人民教育-出卷网-A版选择性必修第一册 引申推广 发现规律 在平面直角坐标系中，已知点 P (x0 , y0) ，直线 l : ， 如何求点 P 到直线 l 的距离 追问1 l: x y O P( x0 , y0 ) Q d 1. 定垂线 2. 找交点 3. 代公式 交点法 直线 PQ ： 引申推广 发现规律 1.求出垂线段 PQ所在直线方程 2. 联立直线 l 与 PQ 的方程，求出交点 Q 坐标 设点Q坐标为( m , n ) 解出 m , n l x y O P( x0 , y0 ) Q d 当A = 0时: 直线 PQ : y = 当A 0时: 引申推广 发现规律 3. 代入两点间距离公式求得 点 P ( x0 , y0 ) , 点Q( m , n ) 1 2 PQ = 化简 l x y O P( x0 , y0 ) Q d 数形结合 探究新知 为什么交点法的计算量那么大呢？ 追问2 垂足 Q 的坐标计算量较大! 如何更便捷的推导出点到直线的距离公式？ 追问3 l: x y O P( x0 , y0 ) Q d 自主探究 小组合作 数形结合 探究新知 l x y O P( x0 , y0 ) Q d 设点Q (x1 , y1)，则 ①和②分别平方后相加得: （） = ② ① 设而不求 整体代换 d = = 数形结合 探究新知 是否还有更简便的方法推导出点到直线的距离公式？ 追问3 满足 l: x y O P( x0 , y0 ) ( x , y )Q H d d = PQ · 数形结合 探究新知 d = PQ · 数量积 转化为向量的数量积去计算 = 反向时 同向时 θ π-θ = = d = · x y O l: H P( x0 , y0 ) ( x , y )Q d 数形结合 探究新知 = d = PQ · = = = = d = · = · = = = d = x y O l: H P( x0 , y0 ) ( x , y )Q [ d , = d · 向量法 = 勇于探索 传承精神 交点法 运算量比较大，但这是数学史上出现的较早方法。 美国数学学者戴维斯早在 1836年在《解 析几何》 一书中就采用了交点法推导出点到 直线距离公式． 向量法 在20世纪 40 年 代，向量知识逐渐出现在教科书中。 1948 年， 美国数学家默纳汉利用向量法求得点到直线 的距离. 20世纪 George Gibon 在杨格的基础上———设而不求”法 19世纪,英国数学家托德亨特将———三角法” 20世纪,美国数学家泰勒———函数法” 19世纪末,英 国数学家约翰斯顿———面积法” 英国数学家杨格简化了“交点法”的运算 “教材中定理和公理的叙述，是数学家因经历艰苦的探索，字斟句酌的结果． ” ———克莱 “优化运算路径” 在平面直角坐标系中，如何求点 P (-1 , 2) 到直线 l : 4x+3y-12=0的距离 典型精解 小试牛刀 d = 解： 将点 P 代入点到直线距离公式，得： 由题可得：A = 3 B = 3 C = -12. = = 2 答：仓库到公路之间的小路至少需要2千米. 归纳小结 总结提升 直观想象 数学抽象 逻辑推理 数学运算 核心素养 …… 向量法 交点法 点到直线的距离公式 化归 设而不 ... ...
