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课件网) 第七章 <<< 7.4 数学建模活动：周期现象的描述 1.能利用三角函数解决简单的实际问题. 2.体会利用三角函数构建事物周期变化的数学模型. 学习目标 现实世界中，许多事物的运动、变化呈现出一定的周期性，例如，地球的自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化；海水在月球和太阳引力下发生的涨落现象；做简谐运动的物体的位移变化；人体在一天中血压、血糖浓度的变化等等，如果某种变化着的现象具有周期性，那么它可以借助三角函数来描述，利用三角函数的图象和性质解决相应的实际问题，今天，我们就一起来探究如何构建三角函数模型解决实际问题. 导 语 一、三角函数模型在物理学中的应用 二、三角函数模型在生活中的应用 课时对点练 三、确定模型解决实际问题 随堂演练 内容索引 三角函数模型在物理学中的应用 一 1.单摆、弹簧等简谐振动模型 单摆、弹簧等简谐振动可以用三角函数表达为y=Asin(ωx+φ)，其中x表 示时间，y表示位移，A表示振幅，表示频率，φ表示初相位. 2.音叉发出的纯音振动模型 音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为y=Asin ωx，其中x表示时间， y表示纯音振动时音叉的位移，表示纯音振动的频率(对应音高)，A表 示纯音振动的振幅(对应音强). 3.交变电流模型 交变电流可以用三角函数表达为y=Asin(ωx+φ)，其中x表示时间，y表示 电流，A表示最大电流，表示频率，φ表示初相位. 4.潮汐现象模型 潮汐现象可以用函数y=Asin(ωx+φ)(x∈[0，+∞)，A>0，ω>0)来表示. 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移 s(cm)随时间t(s)的变化规律为s=4sin，t∈[0，+∞).用“五点法” 作出这个函数的简图，并回答下列问题： (1)小球在开始振动(t=0)时的位移是多少？ 例 1 列表如下： 2t+ 0 π 2π t - s=4sin 0 4 0 -4 0 描点、连线，图象如图所示. 将t=0代入s=4sin，得s=4sin=2，所以小球开始振动时的位 移是2 cm. (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ 小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和-4 cm. (3)经过多长时间小球往复振动一次？ 因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s. (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性. (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题. 处理物理学问题的策略 反 思 感 悟 已知电流I与时间t的关系为I=Asin(ωt+φ). (1)如图所示的是I=Asin(ωt+φ)在一个周期内的图象，根 据图中数据求I=Asin(ωt+φ)的解析式； 跟踪训练 1 由题图知A=300，设t1=，t2=， 则周期T=2(t2-t1)=2×=. ∴ω==150π. 又当t=时，I=0，即sin=0， 而|φ|<，∴φ=. 故所求的解析式为I=300sin，t≥0. (2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I=Asin(ωt+φ) 都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ 依题意得，周期T≤， 即≤(ω>0)， ∴ω≥300π>942， 又ω∈N+，故所求最小正整数ω=943. 二 三角函数模型在生活中的应用 已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y=f(t)，下表是某日各时的浪高数据： 例 2 t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测，y=f(t)的图象可近似地看成是函数y=Acos ωt+b的图象. (1)根据以上数据，求其最小正周期和函数解析式； 由表中数据可知，T=12，∴ω==. 又当t=0时，y=1.5，∴A+b=1.5； 当t=3时，y=1.0，得b=1.0，∴A=0.5=， ∴函数解析式为y=cost+1(0≤t≤24). t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 (2)根据规定，当海浪 ... ...
