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课件网) 章末复习课 第八章 <<< 知识网络 五、三角恒等变换的应用 一、向量数量积的运算 二、向量数量积的应用 三、三角函数式求值 内容索引 四、三角函数式的化简与证明 向量数量积的运算 一 1.求平面向量的数量积主要有三种方法：一是利用定义a·b=|a||b|cos〈a，b〉；二是利用向量数量积的几何意义：a·b=(|a|cos〈a，b〉)|b|，即a·b为a在b上的投影的数量与b的模的乘积；三是利用数量积的坐标运算：a=(x1，y1)，b= (x2，y2)，则a·b=x1x2+y1y2. 2.掌握向量数量积的概念以及求向量数量积的基本方法，重点提升逻辑推理和数学运算素养. 如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，AD=3，CD=2，=2.若=-3，则= . 例 1 因为 = =-2-=-3，所以=. 求数量积的两种常用方法：一是找基底，用基底表示已知和未知向量.从而转化成基底之间的运算；二是建系进行坐标运算. 反 思 感 悟 已知在△ABC中，A=，AB=2，AC=4，=，=， =，则的值为 . 跟踪训练 1 - 由题意，得E为AC的中点，F为AB的中点，D为BC的四等分点，以点A为原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则A(0，0)，B(2，0)，C(0，4)， ∴F(1，0)，E(0，2)，D， ∴==. ∴=×+1×(-1) =-1=-. 二 向量数量积的应用 1.主要考查利用向量的数量积求向量的模、夹角，以及向量的数量积与向量垂直的关系，熟记公式，掌握向量运算，以及向量坐标运算. 2.掌握向量的求模、求夹角公式以及向量垂直的数量积表示，提升逻辑推理和数学运算素养. 已知a=(cos α，sin α)，b=(cos β，sin β)，且|ka+b|=|a-kb|(k>0). (1)用k表示数量积a·b； 例 2 由|ka+b|=|a-kb|， 得(ka+b)2=3(a-kb)2， ∴k2a2+2ka·b+b2=3a2-6ka·b+3k2b2， ∴(k2-3)a2+8ka·b+(1-3k2)b2=0. ∵|a|==1， |b|==1， ∴k2-3+8ka·b+1-3k2=0， ∴a·b==. (2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小. 由(1)知a·b==. 由函数的单调性可知，f(k)=在(0，1]上单调递减，在[1，+∞)上单调递增， ∴当k=1时，(a·b)min=f(1)=×(1+1)=， 此时a与b的夹角θ的余弦值cos θ==， 又∵0°≤θ≤180°，∴θ=60°. 反 思 感 悟 向量数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题，设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)， (1)a∥b x1y2-x2y1=0，a⊥b x1x2+y1y2=0. (2)求向量的夹角和模的问题 ①|a|=； ②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π，a，b为非零向量) cos θ==. 已知|a|=1，|b|=. (1)若a∥b，求a·b； 跟踪训练 2 若a∥b，则a与b的夹角为0或π.所以a·b=|a||b|cos 0=1××1=或a·b=|a||b|·cos π=-. (2)若a与b的夹角为60°，求|a+b|； 因为|a+b|2=a2+2a·b+b2=|a|2+2|a||b|cos 60°+|b|2=1+2×1××+2 =3+，所以|a+b|=. (3)若(2a-b)⊥b，求a与b的夹角θ. 若(2a-b)⊥b，则(2a-b)·b=0， 即2a·b-b2=0，所以2|a||b|cos θ-|b|2=0，即2×cos θ-2=0，所以cos θ=，又0≤θ≤π，所以θ=. 三 三角函数式求值 1.三角函数式求值主要有三种类型：(1)给角求值；(2)给值求值；(3)给值求角.注意观察已知角与所求角之间的关系，根据需要灵活地进行拆角和凑角的变换. 2.掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式并会灵活运用，提升逻辑推理与数学运算素养. 已知角α的顶点在坐标原点O处，始边与x轴的正半轴重合，将角α 的终边绕O点逆时针旋转后经过点(-3，4)，则sin α= . 例 3 ∵角α的终边绕O点逆时针旋转后得到的角为α+， ∴cos==-， sin==， ∴sin α=sin =sincos-cossin =×-×=. 反 思 感 悟 求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系， 如α=2·，α=(α+β)-β，α=β-(β-α)，α=[(α+β)+(α-β) ... ...
