2025高考数学一轮复习-4.8-余弦定理、正弦定理的综合应用-专项训练 【A级 基础巩固】 1．一艘游船从海岛A出发，沿南偏东20°的方向航行8海里后到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东40°的方向航行16海里后到达海岛C.若游船从海岛A出发沿直线到达海岛C，则航行的路程为( ) A.12海里 B．8海里 C.8海里 D．8海里 2．如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅垂平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为(≈1.4，≈1.7)( ) A.7 350 m B．2 650 m C.3 650 m D．4 650 m 3．我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛用于抢险救灾、视频拍摄、环保监测等领域．如图，有一个从地面A处垂直上升的无人机P，对地面B，C两受灾点的视角为∠BPC，且tan ∠BPC＝.已知地面上三处受灾点B，C，D共线，且∠ADB＝90°，BC＝CD＝DA＝1 km，则无人机P到地面受灾点D处的遥测距离PD的长度是( ) A. km B．2 km C. km D．4 km 4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin B＋sin C＝2sin A，则A的最大值为( ) A. B． C. D． 5．2021年11月，郑州二七罢工纪念塔入选全国职工爱国主义教育基地名单．某数学建模小组为测量塔的高度，获得了以下数据：甲同学在二七广场A地测得纪念塔顶D的仰角为45°，乙同学在二七广场B地测得纪念塔顶D的仰角为30°，塔底为C(A，B，C在同一水平面上，DC⊥平面ABC)，测得AB＝63 m，∠ACB＝30°，则纪念塔的高CD为( ) A.40 m B．63 m C.40m D．63m 6．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，c cos B＋(2a＋b)cos C＝0.若△ABC的外接圆面积为π，则△ABC周长的最大值是_____． 7．2022年4月16日，搭载着3名航天员的神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆于东风着陆场，标志着神舟十三号返回任务取得圆满成功．假设返回舱D垂直下落于点C，某时刻地面上点A，B观测点观测到点D的仰角分别为45°，75°，若A，B间距离为10千米(其中向量与同向)，试估算该时刻返回舱距离地面的距离CD约为_____千米(结果保留整数，参考数据：≈1.732). 8．如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P，已知射线AB，AC为夹角为120°的公路(长度均超过4千米)，在两条公路AB，AC上分别设立游客上、下点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得AM＝5千米，AN＝3千米．若∠MPN＝60°，则两条观光线路PM与PN之和的最大值为_____千米． 9．已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边．若sin A sin B sin C＝(sin2A＋sin2B－sin2C). (1)求sinC； (2)若c＝，求△ABC周长的取值范围． 【B级 能力提升】 1．数学必修第二册介绍了海伦和秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S＝，其中a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．若＝，b＝2，则△ABC面积S的最大值为( ) A. B． C.2 D． 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b sin ＝a sin B，a＝，则△ABC周长的最大值为_____． 3．在平面内，四边形ABCD的∠ABC与∠ADC互补，DC＝1，BC＝，∠DAC＝30°，求四边形ABCD面积的最大值． 参考答案 【A级 基础巩固】 1．解析：根据题意知，在△ABC中，∠ABC＝20°＋40°＝60°，AB＝8海里，BC＝16海里，由余弦定理，得AC2＝A ... ...
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