课件41张PPT。第九讲 同 余（一） 我们已经学过整除的概念和带余数的除法：被除数=除数×商+余数。 在生活中，人们也经常关心“余数”。 让我们看一个问题： 2015年12月1日是星期二，问20年后的12月1日是星期几？ 由于每年有365天，20年里有20×365=7300天. 但每4年有一个闰年，20年里有5个闰年，所以20年有7305天。 7305=7×1043+4，说明20年中有1043周，外加4天。 我们关心的其实不是20年中有多少周，而是“外加的4天”（换句话说，关心的不是商，而是余数）， 因此20年后的12月1日是应该是星期六。 再看一个题目： 一个奇数去除288和510所得的两个余数相同且都为29，求这个余数。 如果从“被除数=除数×商+余数”这个式子出发，必有“被除数–余数=除数×商”. 可以知道288–29和510–29都是除数的倍数， 即259和481都是除数的倍数。 或者说除数是259和481的公约数。 用辗转相除法求259和481的最大公约数： 481=259×1+222； 259=222×1+37； 222=37×6. 所以37双481和259的最大公约数。 即37为我们要求的这个除数。 验证一下：288=37×7+29；510=37×13+29。 结果是正确的。 换一个角度考虑：由于288和510被同一个奇数除所得得余数相同，那么510和288的差就一定是这个奇数的倍数（求差时，相同的余数被减掉了）。 因为510–288=222=2×3×37。 所求的奇数是222的奇数约数，只可能是37或111。 但510=111×4+66；288=111×2+66。 余数虽然相同但不是29， 所以111不能是所求的奇数。 而510=37×13+29；288=37×7+29， 所以37为所求的奇数。一．同余的概念 像510和288这两个数，被37除所得的余数相同（都是29），我们称510和288对于“模” 37同余。 “对于模37同余”就是指被37除所得的余数相同，记为510≡288（mod37）， 这里mod37读作“模37”， “≡”读作“同余于”。 一般地，两个整数a和b，除以一个大于1的自然数n所得的余数相同，就称a和b对于模n同余或a和b在模n下同余，记为a≡b(mod n)。 有时也可以简读作a与b同余，这时只是未将模n读出而已，很明显一谈到同余总是与模有关。 很容易看到，所有的偶数在模2下彼此同余，所有的奇数在模2下也是彼此同余。 这里实际上是用2来将整数分成了两类，一类被2整除（余数为0），另一类被2除余数为1。偶数：0、2、4、6、……、2k、……； 奇数：1、3、5、7、……、2k+1、……。 ( k为整数) 如果用4来将整数分类，由于余数可以为0、1、2、3共四种，因此可以分为四类： 0、4、8、12、……、4k、……； 1、5、9、……、4k+1、……； 2、6、10、……、4k+2、……； 3、7、11、……、4k+3、……。 ( k为整数) 同一类的数被4除的余数是相同的， 也就是说在模4下同余。 如8≡16（mod4）；5≡17（mod4）； 2≡14（mod4）；6≡10（mod4）。 因此对于每月的1号、8号、15号、22号、28号来说，1号是星期几，其他几天也是星期几。 它们是在模7下同余。二．同余的几条简单的性质 性质1：任何整数都和自己同余， （这条性质称为自反性）a≡a（mod n）； 性质2：甲、乙两个整数，如果甲和乙同余，那么乙和甲也同余。 （这条称为对称性） 若a≡b（mod n），则b≡a（mod n）。 性质3：甲、乙、丙三个整数，如果甲和乙同余，乙和丙同余，那么甲和丙也同余。（这条称为传递性）。 若a≡b(mod n)，b≡c(mod n)，则a≡c(mod n)。 性质4：甲和乙同余，丙和丁同余，那么甲和丙的和与乙和丁的和一定同余（这条称为可加性）。 甲和丙的差与乙和丁的差一定同余（这条称为可减性）。 甲和丙的乘积与乙和丁的乘积一定同余（这条称为可乘性）。 若a≡b（mod n），c≡d（mod n）， 则a+c≡b+d（mod n），a–c≡b–d（mod n），a×c≡b×d（mod n）。 特别是当a≡b（mod n），c=d时，上面的式子也成立，写作，则a+c ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
