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课件网) 第五章 <<< 2.2 复数的乘法与除法 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算. 2.理解复数乘法的结合律、交换律和乘法对加法的分配律. 学习目标 我们知道，两个一次式相乘，有(ax+b)(cx+d)=acx2+(bc+ad)x+bd，复数的加、减法也可以看作多项式相加、减，那么复数的乘、除法又该如何定义呢？ 导 语 一、复数乘法的运算法则和运算律 二、复数的除法法则 随堂演练 三、在复数范围内解方程 四、in的周期性及其应用 内容索引 课时对点练 一 复数乘法的运算法则和运算律 提示 复数的乘法法则如下： 设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i. 类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？ 问题1 1.复数的乘法法则 (1)对任意两个复数a+bi和c+di(a，b，c，d∈R)，(a+bi)(c+di)=_____ . (2)在进行复数乘法运算时，通常直接使用多项式乘法法则. (ac-bd)+ (ad+bc)i 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 结合律 (z1·z2)·z3=_____ 交换律 z1·z2=_____ 乘法对加法的分配律 z1·(z2+z3)=_____ z1·(z2·z3) z2·z1 z1·z2+z1·z3 3.复数的乘方 (1)对复数z1，z2，z3和正整数m，n有 zm·zn= ； (zm)n= ； (z1·z2)n= . (2)对任意自然数n，有 i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i. 4.互为共轭复数的两个复数的乘积是 ，等于这个复数(或其共轭复数) ，即若z=a+bi(a，b∈R)，则z·= . zm+n zmn 实数 模的平方 |2 a2+b2 计算： (1)(1-i)(1+i)+(2+i)2； 例 1 (1-i)(1+i)+(2+i)2 =1-i2+4+4i+i2=5+4i. (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i. (2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i =(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i =(3+11i)(3-4i)+2i =(9-12i+33i-44i2)+2i =53+21i+2i=53+23i. (1)两个复数代数形式的乘法运算的一般步骤 ①首先使用多项式乘法法则展开. ②再将i2换成-1. ③然后再进行复数的加、减运算. (2)常用公式 ①(a+bi)2=a2-b2+2abi(a，b∈R). ②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a，b∈R). ③(1±i)2=±2i. 反 思 感 悟 (1)计算：(1-i)2-(2-3i)(2+3i)等于 A.2i-13 B.13+2i C.13-2i D.-13-2i 跟踪训练 1 √ (1-i)2-(2-3i)(2+3i) =1-2i+i2-(4-9i2)=-13-2i. (2)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 A.(-∞，1) B.(-∞，-1) C.(1，+∞) D.(-1，+∞) √ 因为z=(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i， 所以它在复平面内对应的点为(a+1，1-a)， 又此点在第二象限，所以解得a<-1. 二 复数的除法法则 提示 我们通过引入倒数来定义复数的除法. 给定复数z2，若存在复数z，使得z2·z=1，则称z是z2的倒数，记作z=. 设z2=c+di≠0和z=x+yi(c，d，x，y∈R)，则 z2·z=(c+di)(x+yi)=cx-dy+(cy+dx)i=1， 所以 类比实数的除法是乘法的逆运算，你认为该如何定义复数的除法运算？ 问题2 所以z2=c+di的倒数i. 这里要求c，d不能同时为0，即z2≠0. 对任意的复数z1=a+bi(a，b∈R)和非零复数z2=c+di(c，d∈R)，规定复数 的除法： i. 在实际计算 i. 由此可见，在进行复数除法运算时，实际上是将分母“实数化”. 对任意的复数z1=a+bi(a，b∈R)和非零复数z2=c+di(c，d∈R)，i. (1)若复数z满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位)，则z为 A.3+5i B.3-5i C.-3+5i D.-3-5i 例 2 √ ∵z(2-i)=11+7i， ∴z==3+5i. (2)已知复数z1=2-3i，z2=等于 A.-4+3i B.3+4i C.3-4i D.4-3i √ ==4-3i. 反 思 感 悟 复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算. 复数的除法运算法则的应用 设复数z满足=i，则|z|等于 A.1 B. C. D.2 跟 ... ...
