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课件网) 3.3.1 第三章 <<< 二项式定理 1.能用基本计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 学习目标 艾萨克·牛顿Isaac Newton(1643—1727)英国科学家.他被誉为 人类历史上最伟大的科学家之一.他不仅是一位物理学家、 天文学家，还是一位伟大的数学家.1664年冬，由于瘟疫流 行而迫使牛顿从剑桥回到乡下，研读沃利斯博士的《无穷 算术》，牛顿开始了对二项式定理的研究，并最终建立二项式定理，牛顿是如何思考的呢？ 导 语 一、二项式定理 二、二项式定理的逆用 课时对点练 三、二项展开式通项的应用 随堂演练 内容索引 二项式定理 一 观察下列几个等式： (a+b)1=a+b； (a+b)2=a2+2ab+b2； (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3； (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4. 你能发现它们有什么样的规律吗？你能发现各等式右侧是如何形成的吗？ 问题1 提示 右侧展开式的项数比左侧的次数大1，展开式的系数具有一定的对称性，各式均按照a的降幂顺序或者b的升幂顺序进行排列的，各项的系数与组合数有某种关系；以(a+b)2为例：(a+b)2是2个(a+b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a+b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a+b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项.于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a+b)2的展开式共有2×2=22项，而且每一项都是a2-kbk(k=0，1，2)的形式.而且a2-kbk相当于从2个(a+b)中取k个b的组合数，即a2-kbk的系数是. 提示 (a+b)5=a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5. 你能根据问题1的分析，写出(a+b)5的展开式吗？ 问题2 二项式定理 一般地，当n是正整数时，有(a+b)n=an+an-1b+…+an-kbk+…+bn. 上述公式称为二项式定理. (1)展开式：等式右边的式子称为(a+b)n的展开式，它共有n+1项. (2)二项式系数：各项的系数(k=0，1，2，…，n)叫做二项式系数. (3)通项公式：(a+b)n展开式的第k+1项叫做二项展开式的通项公式，记作Tk+1=an-kbk. (1)每一项中a与b的指数和为n. (2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止. (3)a与b的位置不能交换. (4)二项式系数与二项展开式项的系数不同. 注 意 点 <<< (课本例1)写出(2-x)5的展开式. 例 1 在二项式定理中令a=2，b=-x，n=5， 可得(2-x)5=25+24(-x)+23(-x)2+22(-x)3+2(-x)4+(-x)5=32-80x+80x2-40x3+10x4-x5. 求的展开式. 例 1 方法一 =(3)4+(3)3·+(3)2+ (3+ =81x2+108x+54++. 方法二 ==(1+3x)4 =［1+·3x+(3x)2+(3x)3+(3x)4］ =(1+12x+54x2+108x3+81x4)=++54+108x+81x2. 求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形如(a-b)n的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开. 反 思 感 悟 求的展开式. 跟踪训练 1 方法一 ＝(2x)5＋(2x)4·＋(2x)3＋(2x)2＋(2x)＋ =32x5-120x2＋-＋-. 方法二 == =(4x3)5+(4x3)4(-3)+(4x3)3·(-3)2+(4x3)2(-3)3+(4x3)(-3)4+(-3)5] =32x5-120x2+-+-. 二 二项式定理的逆用 (1)化简：1+2+4+…+2n. 例 2 原式=·1n·20+·1n-1·2+·1n-2·22+…+2n=(1+2)n=3n. (2)化简：(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1. 原式=(2x+1)5-(2x+1)4+(2x+1)3-·(2x+1)2+(2x+1)-(2x+1)0= =(2x)5=32x5. 若将本例(1)中的式子变为“1-2+4-8+…+(-2)n”，求化简结果. 延伸探究 逆用二项式定理，将1看成公式中的a，-2看成公式中的b，可得原式=(1-2)n=(-1)n. 反 思 感 悟 逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及 ... ...
