2023-2024学年河北省金太阳高二（下）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若集合，，则( ) A. B. C. D. 2.已知命题：，，命题：，，则( ) A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 3.已知函数的导函数为，且，则( ) A. B. C. D. 4.已知函数在上单调递增，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 5.已知，则下列判断正确的是( ) A. B. C. D. 6.已知，为正实数，则“”是“”的( ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7.苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化大数之间的计算而发明了对数，利用对数运算可以求出大数的位数已知，则是( ) A. 位数 B. 位数 C. 位数 D. 位数 8.若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.如图所示，连接棱长为的正方体各面的中心得到一个多面体容器，从顶点处向该容器内注水，直至注满水为止图中水面的高度为，水面对应四边形的面积为，容器内水的体积为，则下列说法正确的是( ) A. 是的函数 B. 是的函数 C. 是的函数 D. 是的函数 10.定义在上的函数满足，则( ) A. B. C. 为偶函数 D. 可能在上单调递增 11.已知函数，，且，则下列说法正确的是( ) A. B. C. D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知是函数的极大值点，则 _____． 13.已知函数，则不等式的解集为_____． 14.若不等式对恒成立，则的最大值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知：，，：或． 若命题是真命题，求实数的取值范围； 若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16.本小题分 已知幂函数为偶函数，且函数满足． 求函数和的解析式； 对任意实数恒成立，求的取值范围． 17.本小题分 已知函数． 若，求的最小值； 证明：曲线是中心对称图形． 18.本小题分 已知函数． 讨论的导函数的单调性； 若对任意，恒成立，求的取值范围． 19.本小题分 已知函数，，若存在实数，，使得，则称与为“互补函数”，，为“互补数”． 判断函数与是否为“互补函数”，并说明理由． 已知函数为“互补函数”，且，为“互补数”． 是否存在，，使得？说明理由． 若，，用的代数式表示的最大值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：因为命题是真命题，所以命题是假命题，即关于的方程无实数根． 当时，方程化为，解集为空集，符合题意； 当时，，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 根据的结论，可知：若命题是真命题，则，． 若是的必要不充分条件， 则设或，，，， 即，解得，所以实数的取值范围是． 16.解：由为幂函数，得，解得或． 因为为偶函数， 所以， 则； 由， 可得， 令， 则， 所以； 由， 可得，， 故， 令，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即， 所以的取值范围为． 17.解：，即， 因为， 当且仅当时，等号成立，所以， 故的最小值为． 证明：由题可知， 所以曲线关于点对称，即曲线是中心对称图形． 18.解：由题可知， 设，则， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，是上的增函数， 当时，在上是减函数，在上是增函数． 当时，在上单调递增，， 则，在上单调递增，故成立； 当时，，所以在上单调递增，， 则，单调递增，故成立； 当时，当时，，在上单调递减， 又，所以，在上单调递减， 则不成立． 综上，的取值范围为． 19.解：因为，所以， 当且仅当，即时取 ... ...
