浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高一（上）期末考试数学试题（PDF版，含答案）

浙江省宁波市镇海中学 2024-2025 学年高一（上）期末考试数学试题 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.将37 30′化为弧度是( ) 5 5 5 7 A. B. C. D. 24 12 48 12 2.已知角 的终边过点(5, 12)，则cos ( + ) =( ) 2 5 5 12 12 A. B. C. D. 13 13 13 13 3.已知向量 , 满足| | = 2, | | = 1, | | = 2，则 在 方向上的投影向量是( ) A. B. C. D. 8 4 4 2 4.将函数 = ( )图象向左平移 个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 = 24 ( cos 2 )的图象，则 ( ) =( ) 6 5 A. cos4 B. cos (4 ) C. cos ( ) D. cos ( ) 3 24 8 5.函数 ( ) = 2sin (2 ) + 的零点个数为( ) 3 6 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6.在[0,2 )内函数 ( ) = √ sin 2 + lg(2cos2 1)的定义域是( ) 5 A. [0, ) B. ( , ] 6 3 5 2 C. [0, ) ∪ ( , ] D. [0, ) ∪ ( , ] 6 6 3 3 7.已知等边三角形 的边长为2，点 为 内切圆上一动点，若 = + ，则3 + 3 的最 小值为( ) 1 A. 2 B. 1 C. D. 1 3 8.已知0 < < , 0 < < 且3sin = sin(2 + )，则tan 的最大值为( ) 2 2 √ 2 √ 2 A. B. C. 1 D. √ 2 4 2 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知平面向量 , , ，下列说法不正确的有( ) A. 若 // ， // ，则 // B. ( ) = ( ) C. | + | ≤ | + | + | | D. 若| + | = | |，则 = 0 第 1 页，共 8 页 10.已知函数 ( ) = sin (2 ) 2 2 ( )，则( ) 3 6 A. 曲线 = ( )的一个对称中心为( , 0) 24 B. 函数 ( )在区间( , )单调递增 6 4 7 C. 函数 ( + )为偶函数 24 D. 函数 ( )在[0,2 ]内有4个零点 11.已知0 < < < 1,0 < < ，则下列选项正确的有( ) 4 2 (sin ) sin A. < B. sin < sin C. (sin ) sin > (cos ) tan D. 若sin = cos ，则 < 2 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.一个扇形的周长为24 + 8 ，面积为48 ，则此扇形的圆心角为 . (用弧度制表示) 13.设 , 是平面内不共线的一组基底， = 3 + , = 2 + 4 , = 4 2 ，若 , , 三点共线， 则实数 = ． 14.已知函数 ( ) = cos( )，其中 > 0，在(2,5]上有6个零点，则 的范围为 ． 6 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 如图，在平行四边形 中，点 为 中点，点 ， 在线段 上，满足 = = ，设 = , = ． (1)用 , 表示向量 ； (2)若| | = √ 3, | | = 1, ∠ = ，求| |． 6 16.(本小题15分) ( 4 5已知 ∈ 0, ), ∈ (0, ) , sin( ) = , cos( + ) = ． 2 5 13 (1)分别求cos( )和sin( + )的值； (2)求cos 的值． 17.(本小题15分) 第 2 页，共 8 页 已知函数 ( ) = cos (2 ) + √ 3 2 + sin cos ． 6 2 3√ 3 (1)若 是三角形中一内角，且 ( ) = ，求 的值； 3 2 ( ) √ 3 11 (2)若函数 ( ) = 2 2 在[ , ]，有唯一零点，求 的范围． 12 12 18.(本小题17分) 已知函数 ( ) = 2cos( + ) ( > 0, | | < )的部分图象如图所示， 2 (1)求 ( )的解析式； (2)已知 ( )在 ∈ [ , )的值域为[ 2, √ 3]，求 的取值范围； 6 1 (3)将 ( )图象上所有点纵坐标缩短为到原来的 (横坐标不变)，再将所得到图象向右平移 个单位长度得到 2 4 ( )的图象.已知关于 的方程 ( ) + ( ) = 在[0, )内有两个不同的解 , ． ①求实数 的取值范围； ②求cos(2 2 )的值. (用 表示) 19.(本小题17分) 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线. 1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程 = ( + ) + ，其中 为参数.当 = 1时，就是双曲余弦函数cos = ，类似的我们可以定义双曲正弦函数 2 2 sin = .它们与正，余弦函数有许多类似的性质． 2 (1)已知sin = 1，求cos ... ...