2.3.3 点到直线的距离公式 教学设计

课题：《点到直线的距离》 一、内容与内容解析 本节内容是“直线的方程 ”的最后一个内容，它是在研究了直线的方程和两直线 的位置关系的基础上，探索如何用坐标和方程来定量研究距离问题，既是对前面知识 体系的完善，又为后面研究直线与圆、圆与圆的位置关系奠定基础。具有承上启下的 作用。同时，教材通过让学生经历点到直线的距离公式的探究与应用过程，进一步体 会解析几何的本质：用代数方法解决几何问题。 二、 目标和目标解析 1、探索并掌握点到直线的距离公式，会求点到直线的距离。 2、经历点到直线的距离公式的探究与应用过程，体验用数形结合、转化、函数 等数学思想来解决数学问题的方法，形成用代数方法解决几何问题的能力；通过不同 形式的自主学习和探究活动，体验数学发现和创造的历程，提高抽象概括，分析总结， 数学表达等基本数学思维能力。 3、通过师生互动、生生互动的教学活动过程，形成学生的体验性认识，体会成 功的愉悦，提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和 合作交流的科学态度。 重难点： 探索并掌握点到直线的距离公式，会求点到直线的距离。 三、教学过程分析 （一）情境设置，导入新课： 前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的条件，两直线的交点问 题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节， 我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l 的距离。 用 POWERPOINT 打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的 位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学。要求 学生思考一个点到一条直线的距离如何计算？能否用两点间距离公式进行推导？ （二）讲解新课： 1．提出问题 在平面直角坐标系中，如果已知某点 P的坐标为(x0, y0 ) ，直线l : Ax + By + C = 0 当A = 0 或B = 0 时，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l 的距离呢 当A ≠ 0 且B ≠ 0 时呢？学生可自由讨论。 2.数行结合，分析问题，提出解决方案 学生已有了点到直线的距离的概念，即点P到直线l 的距离d是点P到直线l 的垂 线段的长，当A = 0 或B = 0 时，问题容易解决。 这里重点讨论一般直线 定义法：根据定义，点 P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图 1，设点 P 到直线l 的垂线为l ' ，垂足为 Q，由l 丄 l ' 可知 l ' 的斜率为 l ' 的方程：y — y0 = 与 l 联立方程组 解得交点 B 2 x0 — ABy0 — AC 2 A2 y0 — ABx0 — BC 2 :| PQ |= | Ax0 + By0 + C | A2 + B2 ( y )P l Q l ' x 图1 函数法：点 P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线 l 的距离。在l 上取 任意点 Q（x, y）用两点的距离公式有 | PQ |2 = (x — x0 ) 2 + (y — y0 ) 2 为了利用条件 Ax + By + C = 0 上式变形一下，配凑系数处理得： (A2 + B 2 )[(x — x0 ) 2 + (y — y0 ) 2 ] = A2 (x — x0 ) 2 + B2 (y — y0 ) 2 + A2 (y — y0 ) 2 + B2 (x — x0 ) 2 = [A(x — x0 ) + B(y — y0 )]2 + [A(y — y0 ) — B(x — x0 )]2 ≥ [A(x — x0 ) + B(y — y0 )]2 ＝ (Ax0 + By0 + C)2 (: Ax + By + C = 0) 当且仅当 A(y — y0 ) — B(x — x0 ) = 0 时取等号，所以最小值就是 转化法：设直线 l 的倾斜角为 α,过点 P 作 PM∥y 轴交 l 于 M (x1, y1 ) 显然x1 = x0 所以y1 = - 易得∠MPQ= α （图 2） 或∠MPQ＝ 180O —α （图 3） 在两种情况下都有 tan2 上MPQ = tan α = ( y ) ( P )l Q M x 图2 ( l y ) ( P )Q M x 图3 三角形法：过点 P 作 PM∥y 轴，交 于 M，过点 P 作 PN∥x 轴，交 l 于 N（图 4）由解法 三知 同理得 在 Rt△MPN 中，PQ 是斜边上的高 ( y )P Q M l 图 4 N x 这四种推 ... ...