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课件网) 第三章 圆锥曲线与方程 3.1 椭 圆 3.1.1 椭圆的标准方程 1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．（重点） 2．掌握椭圆的定义，会求椭圆的标准方程.（重点、难点） 通过图片我们看到，在我们所生活的世界中，随处可见椭圆这种图形，而且我们也已经知道了椭圆的大致形状，那么我们能否动手画一个标准的椭圆呢？ 平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。 平面内，到两个定点的距离等于定长的点的集合又叫做什么呢？ 实验操作 (1)取一条定长的细绳； (2)把它的两端都固定在图板的同一点处； (3)套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是椭圆. 根据刚才的实验请同学们回答下面几个题： 1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的 还是运动的？ 2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明 了什么？ 3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小 有怎样的关系？ 椭圆定义： 我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点. 两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距. 归纳总结 M点的轨迹是线段。 M点的轨迹不存在。 当M到两定点距离之和等于 时 当M到两定点距离之和小于 时 根据椭圆的定义如何求椭圆的方程呢？ 思考：求曲线的方程的基本步骤是什么呢？ （1）建系设点; （2）写出点集； （3）列出方程； （4）化简方程； （5）检验. O x y M F1 F2 方案一 F1 F2 方案二 O x y M 如何建立适当的坐标系呢？ x F1 F2 M O y 设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点分别为F1和F2，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1和F2 的距离的和等于2a(2a>2c>0) . 解：以焦点F1,F2的所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy(如图). 设M(x, y )是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a (2a>2c) ，则F1，F2的坐标分别是( c,0)、(c,0) . 限制条件： |MF1|+|MF2|=2a 因为|MF1|= ,|MF2|= ,所以 + =2a 为化简这个方程，将左边的一个根式移到右边，得 将这个方程两边平方，得 整理得 上式两边在平方，得 整理得 两边同时除以 ，得 =2a- M c a o y x M c a 如果焦点在y轴上，椭圆的方程是什么？ 焦点位置 焦点在x轴 焦点在y轴 标准方程 图象 焦点 的关系 椭圆的标准方程 归纳总结 （1）椭圆的标准方程的形式：左边是两个分式 的平方和，右边是1; （2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大， 则焦点在哪一个轴上; （3）椭圆的标准方程中a，b，c满足a2=b2+c2. 椭圆的标准方程有哪些特征呢？ 归纳总结 例1.求下列椭圆的交点坐标及椭圆上任意一点到两焦点的距离之和。 例2：（1）两个焦点的坐标分别为（-4，0）和（4，0）， 且椭圆经过（5，0） （2）焦点在y轴，且椭圆经过（1，0）和（0，2） （3）椭圆经过（3，-2）和（-6，1） 待定系数法 定义法 B y o F1 F2 M x N 6 14 2.填空 1.已知F1，F2是椭圆 的两个焦点， 过F1的直线交椭圆于M，N两点，则三角形 MNF2的周长为（ ） A.10 B.20 C.30 D.40 定 义 图 形 方 程 焦 点 F(±c，0) F(0，±c) a,b,c 的关系 {P||PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|} 1 2 y o F F P x y x o 2 F P F 1 ... ...
