2024-2025学年上海徐汇区高一上学期数学期末区统考试卷（2025.01）（含答案）

徐汇区2024学年第一学期高一年级数学期末统考 2025.01 一、填空题（本大题共有12题，每题4分，满分48分） 1．设是实数，集合，若，则_____． 2．函数的定义域为_____． 3．已知幂函数的图像经过点，则_____． 4．已知，，则用、表示_____． 5．已知、为实数，满足，则等号成立的条件是_____． 6．试用函数观点解不等式，则该不等式的解集为_____． 7．用二分法求函数在区间上的零点的近似值，由计算得，，，．下一个求，则_____． 8．若关于的不等式对于一切实数都成立，则实数的取值范围是_____． 9．已知函数是上的奇函数，且是上的严格减函数，若，则满足不等式的的取值范围为_____． 10．如图所示，为宣传2025年世界人工智能大会在上海召开，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为，，为节约成本（即使用纸量最少），则长_____。 11．若函数的值域为，则实数的取值范围是_____． 12．若函数的图像关于直线对称，则的最大值为_____． 二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分） 13．“”是“”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 14．下列函数中，既是偶函数，又在区间上为严格减函数的是（ ） A． B． C． D． 15．下列说法正确的是（ ） A．方程的两个实数根满足 B．关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根 C．若关于的一元二次方程的两个实数根，则 D．已知方程的两个实数根、，则 16．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是（ ） A．4 B．2 C．6 D．1 三、解答题（本大题共有5题，满分56分） 17．（本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分） 已知集合，集合或，全集． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 18．（本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分） 已知都是正实数，且． （1）求证：； （2）求的最小值． 19．（本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分） 已知定义在上的函数的表达式为，若此函数为奇函数． （1）求证：在上为严格增函数； （2）若为实数，解关于的不等式：． 20．（本题满分12分，第1小题满分5分，第2小题满分7分） 目前，光伏产业已经发展成我国少有的全产业链自主可控，并在全球范围内具备领先优势的产业．现有某光伏产业公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备．第一年维修，保养费用12万元，从第二年开始，每年维修，保养费用比上一年增加4万元。预计使用该设备后，每年的总收入为50万元，设使用年后该设备的盈利额为万元． （1）写出与之间的函数关系式，并求从第几年开始，该设备开始盈利（盈利额为正值）； （2）使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该设备． 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由．（注：年平均盈利额为，） 21．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分4分） 已知是定义在上的函数，给定数集．若对任意的、，当时，均有，则称函数在集合上封闭． （I）若，分别判断在和上是否封闭？并说明理由； （2）若在上封闭，当时，，解不等式； （3）证明：“在上封闭，且在上封闭”的必要条件是“在上封闭”． 参考答案 一、填空题 1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.2.875； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.144； 11.若函数的值域为， ... ...