金科大联考2025届高三1月质量检测数学试题（含解析）

金科大联考2025届高三1月质量检测数学试题 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若集合，则( ) A. B. C. D. 2.已知，则( ) A. B. C. D. 3.已知椭圆的离心率为，则( ) A. B. C. D. 4.已知平面向量，，若在方向上的投影向量为，则( ) A. B. C. D. 5.已知，，，则( ) A. B. C. D. 6.若函数的极小值点为，则( ) A. B. C. D. 7.已知正项数列的前项积为，若，则( ) A. B. C. D. 8.从正十边形的各顶点中任选个，则选中的个点能构成直角三角形的概率为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.有一组样本数据，，，，其中，由这组数据得到新样本数据，，，，则( ) A. 两组样本数据的极差一定相等 B. 两组样本数据的平均数一定相等 C. 两组样本数据的中位数可能相等 D. 两组样本数据的方差可能相等 10.已知函数，且，则( ) A. B. 是奇函数 C. 的图象关于对称 D. 一定为的极小值点 11.已知棱长为的正方体，空间内的动点满足，其中，，，且到棱的距离和到平面的距离相等，则( ) A. 当时，的轨迹长度为 B. 当时，四面体的体积为定值 C. 存在点，使得 D. 直线与平面所成角的正弦值最大为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知为第一象限角，若，则 ． 13.若实数，满足，则的最小值为 ． 14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上位于第一象限的一点，，直线与圆交于，两点，若，则的离心率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 记的内角，，的对边分别为，，，已知，A. 求的面积 设在边上，平分，若，求． 16.本小题分 如图，在四棱锥中，底面是正方形，为等边三角形，平面平面，． 证明：平面平面 设点为棱的中点，求二面角的余弦值． 17.本小题分 设函数． 当时，求的单调区间 当时，，求的取值范围． 18.本小题分 在直角坐标系中，已知动圆过定点，且截轴所得的弦长为． 求动圆圆心的轨迹方程 ，为曲线上的两个动点，过，中点且与轴平行的直线交曲线于点，曲线在点处的切线交轴于点． (ⅰ)证明： (ⅱ)若点在直线上，求面积的最大值． 19.本小题分 设为正整数，集合，集合，为的一个非空子集，记，其中 若，，求的取值的集合 证明：的所有可能取值个数为 是否存在，使得的所有可能取值从小到大排列成等差数列，若存在，求若不存在，说明理由． 答案和解析 1. 【解析】解：， 由，得， 则 故选B． 2. 【解析】解：设，， 则， 则， 则，， 即，即， 则． 故选C． 3. 【解析】解：椭圆的方程为， 则椭圆的焦点在轴， ， 解得． 故选A． 4. 【解析】解：由向量 ，，可得 且 ， 因为向量 在 方向上的投影向量为 ，可得 ， 所以 ． 故选D． 5. 【解析】解：因为， 则，， 所以． 故选：． 6. 【解析】解：的定义域为，， 令，得或，因为存在极小值，所以， 则当，即时， 在上，在上，在上， 则是函数的极小值点，由题可知，解得 当，即时， 在上，在上，在上，则是函数的极小值点，由题可知，矛盾 当，即时，恒成立，函数在上单调递增，无极值点． 综上得． 故选：． 7. 【解析】解：依题意，当时，， 又，所以， 当时，，所以， 又， 所以， 所以为首项为，公差为的等差数列， 即，． 故选：． 8. 【解析】 解：在十个顶点中任取三个顶点，有共种情况， 要构成直角三角形，则直角顶点与圆心的连线必然是直径，正十边形有条直径，每条直径对应个直角三角形除直径的两个端点外，还有个顶点可以选， 所以其中能构成直角三角形的的有， 故所求概率：． 故选：． 9. 【解析】解：极差：新样本数据中，最大值 ... ...