2025届高三数学二轮专题复习：恒成立问题与能成立问题 课件（共58张PPT）

(课件网) 恒成立问题与能成立问题 恒成立问题(能成立问题)多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的热门题型，可以出现在选择、填空或解答题中，也经常以压轴解答题形式出现，难度较大. 考情分析 专题强化练 考点一 考点二 利用导数研究恒成立问题 利用导数研究能成立问题 内容索引 利用导数研究恒成立问题 考点一 　(2024·茂名模拟)已知函数f(x)=. (1)求曲线y=f(x)在点(e，f(e))处的切线方程； 例1 由于f(e)=则切点坐标为 因为f'(x)=所以切线斜率为f'(e)=0， 故切线方程为y=. (2)当x≥1时，xf(x)≤a(x2-1)，求a的取值范围. 方法一　(分类讨论求最值) 当x∈[1，+∞)时，xf(x)≤a(x2-1)等价于ln x≤a(x2-1)， 令g(x)=a(x2-1)-ln x，x∈[1，+∞)， 若ln x≤a(x2-1)恒成立，则g(x)≥0恒成立， g'(x)=2ax-= 当a≤0时，g'(x)<0，函数g(x)在[1，+∞)上单调递减，g(x)≤g(1)=0，不符合题意； 当01，由g'(x)=0，得x=(舍负)， 当x∈时，g'(x)<0，函数g(x)单调递减，g(x)≤g(1)=0，不符 合题意； 当a≥时，2a≥1，因为x≥1，所以2ax2-1≥0，则g'(x)≥0， 所以函数g(x)在[1，+∞)上单调递增，g(x)≥g(1)=0，符合题意. 综上所述，a≥所以a的取值范围为. 方法二　(分离参数，利用洛必达法则求最值) 当x≥1时，xf(x)≤a(x2-1)， 即ln x≤a(x2-1)， ①当x=1时，原不等式恒成立，所以a∈R， ②x>1时，原不等式可化为a≥ 令φ(x)=(x>1)，所以φ'(x)= 令m(x)=x--2xln x(x>1)， 所以m'(x)=1+-2(1+ln x)=-2ln x<0在(1，+∞)上恒成立， 所以m(x)在(1，+∞)上单调递减， 所以m(x)f(x)max或a0， 当x∈时，f'(x)<0， 故f(x)的单调递增区间为 单调递减区间为. (2)若f(x)≤0恒成立，求a的取值集合. 由f(x)=ax+ln(x+1)，x∈(-1，+∞)， 得f'(x)=a+ 若a≥0，则显然f(2)=2a+ln 3>0，不符合题意， 则a<0，令f'(x)=0，解得x=->-1， 则当x∈时，f'(x)>0，f(x)单调递增， 当x∈时，f'(x)<0，f(x)单调递减， f(x)max=f=-a-1-ln(-a)， 则-a-1-ln(-a)≤0，即a+1+ln(-a)≥0， 令g(a)=a+1+ln(-a)，a<0， 则g'(a)=1+= 当a∈(-∞，-1)时，g'(a)>0，g(a)单调递增， 当a∈(-1，0)时，g'(a)<0，g(a)单调递减， 所以g(a)max=g(-1)=0， 当满足g(a)≥0时，a=-1， 所以a的取值集合为{-1}. 利用导数研究能成立问题 考点二 已知函数f(x)=(x-4)ex-x2+6x，g(x)=ln x-(a+1)x，a>-1. (1)求f(x)的极值； 例2 由f(x)=(x-4)ex-x2+6x，得f'(x)=ex+(x-4)ex-2x+6=(x-3)ex-2(x-3)=(x-3)(ex-2)， 令f'(x)=0，得x=3或x=ln 2， x，f'(x)，f(x)的变化关系如表： x (-∞，ln 2) ln 2 (ln 2，3) 3 (3，+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表可知，当x=ln 2时，f(x)取得极大值，为f(ln 2)=(ln 2-4)eln 2-(ln 2)2+ 6ln 2=-(ln 2)2+8ln 2-8， 当x=3时，f(x)取得极小值，为f(3)=(3-4)e3-32+18=9-e3. (2)若存在x1∈[1，3]，对任意的x2∈[e2，e3]，使得不等式g(x2)>f(x1)成立，求实数a的取值范围.(e3≈20.09) 由(1)知，f(x)在[1，3]上单调递减，所以当x∈[1，3]时，f( ... ...