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课件网) 导数中函数的构造问题 导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题. 考情分析 专题强化练 考点一 考点二 导数型构造函数 构造具体函数比较大小 内容索引 导数型构造函数 考点一 (2024·绵阳模拟)已知函数f(x)满足f(x)=f(-x)，且当 x∈(-∞，0]时， f(x)+xf'(x)>0成立，若 a=30.2f(30.2)，b=(ln 2)f(ln 2)，c=f 则 a，b，c的大小关系是 A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.a>c>b 例1 考向1 利用f(x)与x构造 √ 令g(x)=xf(x)，x∈R， 因为f(x)=f(-x)，所以g(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-g(x)， 所以g(x)为奇函数， 又因为当x∈(-∞，0]时，f(x)+xf'(x)>0， 所以当x∈(-∞，0]时，g'(x)=f(x)+xf'(x)>0， 所以g(x)在(-∞，0]上单调递增， 又g(x)为奇函数， 所以g(x)在R上单调递增， 又因为a=30.2f(30.2)=g(30.2)， b=(ln 2)f(ln 2)=g(ln 2)， c=f=g=g(-2)， -2<0
b>c. 规律方法 (1)出现nf(x)+xf'(x)的形式，构造函数F(x)=xnf(x)； (2)出现xf'(x)-nf(x)的形式，构造函数F(x)=. (2024·石家庄二中统考)已知函数f(x)的定义域为(-∞，0)，f(-1)=-1，其导函数f'(x)满足xf'(x)-2f(x)>0，则不等式f(x+2 025)+(x+2 025)2<0的解集为 A.(-2 026，0) B.(-2 026，-2 025) C.(-∞，-2 026) D.(-∞，-2 025) 跟踪演练1 √ 根据题意可令g(x)=(x<0) g'(x)=<0， 所以g(x)=在(-∞，0)上单调递减， 则原不等式等价于<-1， 由g(x+2 025)=<-1=g(-1) 0>x+2 025>-1， 解得-2 0261，则关于x的不等式f(x)>e-x+1的解集为 A.{x|x>1} B.{x|x>e} C.{x|x<0} D.{x|x>0} 例2 考向2 利用f(x)与ex构造 √ 因为f(x)+f'(x)>1， 所以f(x)+f'(x)-1>0， 所以构造函数F(x)=exf(x)-ex， 则F'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex=ex[f(x)+f'(x)-1]>0， 所以F(x)在R上单调递增， 因为f(0)=2，所以F(0)=1， 所以不等式f(x)>e-x+1 exf(x)-ex>1 F(x)>F(0)， 因为F(x)在R上单调递增，所以x>0， 所以不等式的解集为{x|x>0}. 规律方法 (1)出现f'(x)+nf(x)的形式，构造函数F(x)=enxf(x)； (2)出现f'(x)-nf(x)的形式，构造函数F(x)=. 已知定义在R上的连续可导函数f(x)及其导函数f'(x)满足f(x)0时，f(x)>0，则下列式子不一定成立的是 A.f(8)>2f(4) B.f(4)>2f(2) C.f(2)>2f(1) D.f(1)>2f 跟踪演练2 √ 设F(x)= 因为F'(x)== 又f(x)0，即F(x)在R上为增函数， 选项A，因为F(8)>F(4)，即> 化简得f(8)>e4f(4)>2f(4)，故A成立； 选项B，因为F(4)>F(2)，即> 化简得f(4)>e2f(2)>2f(2)，故B成立； 选项C，因为F(2)>F(1)，即> 化简得f(2)>ef(1)>2f(1)，故C成立； 选项D，因为F(1)>F 即>化简得f(1)>f 而f<2f故D不一定成立. (2024·杭州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)sin x+f'(x)cos x>0，则 A.ff D.f>f 例3 考向3 利用f(x)与sin x，cos x构造 √ 令F(x)=x≠+kπ，k∈Z， 故F'(x)=>0恒成立， 故F(x)=k∈Z上单调递增， 故F2fsin x的解 ... ... 
