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课件网) 极值点偏移问题 极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，解决极值点偏移问题的方法有对称化构造函数法和比值代换法，二者各有千秋. 考情分析 专题强化练 考点一 考点二 对称化构造函数 比值代换 内容索引 对称化构造函数 考点一 已知常数a>0，函数f(x)=x2-ax-2a2ln x. (1)若 x>0，f(x)>-4a2，求a的取值范围； 例1 由已知得f(x)的定义域为(0，+∞)， 且f'(x)=x-a-==. ∵a>0， ∴当x∈(0，2a)时，f'(x)<0，即f(x)在(0，2a)上单调递减； 当x∈(2a，+∞)时，f'(x)>0，即f(x)在(2a，+∞)上单调递增. ∴f(x)在x=2a处取得极小值即最小值， ∴f(x)min=f(2a)=-2a2ln(2a)， ∵ x>0，f(x)>-4a2 f(x)min=-2a2ln(2a)>-4a2 ln(2a)
4a. 由(1)知，f(x)的定义域为(0，+∞)， f(x)在(0，2a)上单调递减，在(2a，+∞)上单调递增，且x=2a是f(x)的极小值点. ∵x1，x2是f(x)的零点，且x1≠x2， 不妨设x1，x2分别在(0，2a)，(2a，+∞)上，则0F(2a)=0，即f(x1)>f(4a-x1)， ∵f(x1)=f(x2)=0， ∴f(x2)>f(4a-x1)， ∵02a， 又∵2a4a-x1，即x1+x2>4a. 规律方法 对称化构造函数法构造辅助函数 (1)对结论x1+x2>2x0型，构造函数F(x)=f(x)-f(2x0-x). (2)对结论x1x2>型，方法一是构造函数F(x)=f(x)-f通过 研究F(x)的单调性获得不等式；方法二是两边取对数，转化成ln x1+ln x2>2ln x0，再把ln x1，ln x2看成两变量即可. (2024·保定模拟)已知函数f(x)=ax-xln x，f'(x)为其导函数. (1)若f(x)≤1恒成立，求a的取值范围； 跟踪演练1 由题意知f'(x)=a-1-ln x(x>0)， 当00，f(x)单调递增； 当x>ea-1时，f'(x)<0，f(x)单调递减. 所以f(x)max=f(ea-1)=ea-1≤1， 解得a≤1，即a的取值范围为(-∞，1]. (2)若存在两个不同的正数x1，x2，使得f(x1)=f(x2)，证明：f'()>0. 因为当x→0时，f(x)→0，且f(ea)=0， 又存在两个不同的正数x1，x2，使f(x1)=f(x2)， 不妨设x10， 即证ea-1时，a-1-ln x<0，x2-e2a-2>0，则g'(x)<0， 所以g(x)在(ea-1，ea)上单调递减， 则g(x)0成立. 比值代换 考点二 (2024·商丘模拟)已知函数f(x)=(x-2)(ex-ax)(a∈R).若关于x的方程f(x)=(x-3)ex+2ax恰有2个不同的正实数根x1，x2. (1)求a的取值范围； 例2 由f(x)=(x-3)ex+2ax，得ex-ax2=0， ∵关于x的方程f(x)=(x-3)ex+2ax恰有2个不同的正实数根x1，x2， ∴关于x的方程ex=ax2恰有2个不同的正实数根x1，x2， 令g(x)=(x>0)，则y=a与g(x)的图象有两个不同的交点，∵g'(x)= ∴当x∈(0，2)时，g'(x)<0；当x∈(2，+∞)时，g'(x)>0， ∴g(x)在(0，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增， 又g(2)= 当x趋近于0时，g(x)趋近于+∞；当x趋近于+∞时，ex的增速远大于x2的增速，则g(x)趋近于+∞； 则g(x)的图象如图所示， ∴当a>时，y=a与g(x)的图象有两个不同的交点， ∴实数a的取值范围为. (2)求证：x1+x2>4. 由(1)知=a =a(x1>0，x2>0)， ∴x1=ln a+2ln x1，x2=ln ... ... 