2024-2025学年北京市海淀区中关村中学高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市海淀区中关村中学高二上学期期中考试 数学试卷 一、选择题：本大题共14小题，共70分。 1.若，则( ) A. B. C. D. 2.已知，，如果与为共线向量，则( ) A. B. C. D. 3.若长方体的三条棱长分别是，，，则它的外接球的表面积( ) A. B. C. D. 4.已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 A. 若则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5.如图所示，三棱锥中，，分别是，的中点，设，，，用，，表示，则( ) A. B. C. D. 6.已知，则与的夹角为( ) A. B. C. D. 7.已知两条不同的直线，和平面满足，则“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8.已知为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，，则球的表面积为( ) A. B. C. D. 9.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是( ) A. B. C. D. 10.在正三棱锥中，，，则直线与平面所成角的大小为( ) A. B. C. D. 11.将边长为的正方形沿对角线折起，折起后点记为若，则四面体的体积为( ) A. B. C. D. 12.九章算术商功：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以基，其形露矣．”文中“阳马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．在阳马中，侧棱底面，且，，则点到平面的距离为( ) A. B. C. D. 13.如图，在直三棱柱中，是边长为的正三角形，，为棱上的中点，为棱上的动点，过作平面的垂线段，垂足为点，当点从点运动到点时，点的轨迹长度为( ) A. B. C. D. 14.蜜蜂被誉为“天才的建筑师”蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构如图是一个蜂房的立体模型，底面是正六边形，棱，，，，，均垂直于底面，上顶由三个全等的菱形，，构成设，，则上顶的面积为( ) A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，共30分。 15.已知三角形的三个顶点分别为，，，则的中点坐标为 ；边上的中线长为 ． 16.已知圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则此圆锥的表面积为 ． 17.如图，长方体中，，，则点到点的距离等于 ；点到直线的距离等于 ． 18.已知正方体中，点为的中点，求直线与直线所成角的余弦值为 ． 19.已知正方体的棱长为，，分别为，的中点，点在正方体表面上运动，且平面，则动点的轨迹包含，所围成图形面积为 ． 20.如图，正方形和正方形所在的平面互相垂直．为棱上的动点，平面，为垂足给出下列四个结论： ； 线段的长随线段的长减小而增大； 存在点，使得平面； 存在点，使得． 其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.设，向量，且． 求； 求向量与夹角的余弦值． 22.如图，在三棱锥中，为等边三角形，点为的中点，，平面平面． 求证：直线平面； 已知为的中点，是线段上的点，若，求的值． 23.如图，在长方体中，和交于点，为的中点． 求证：平面； 再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求： 平面与平面的夹角的余弦值； 点到平面的距离． 条件：； 条件：与平面所成角为． 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分． 24.已知中，，，，分别取边的点，使得，将沿折起到的位置，设点为棱的中点，点为的中点，棱上的点满足． 求证：平面； 试探究在的折起过程中，是否存在一个位置，使得三棱锥的体积为，若存在，求出二面角的大小，若不存在，请说明理由． 25.已知集合，定义上两点， 的距离． 当时，以下命题正确的有_____不需证明： 若，，则； 在中，若，则； 在中，若，则 当时，证明中任意三点满足关系 ... ...