高中数学(人教B版)选择性必修一同步讲义1.2.4二面角(2知识点+3题型+巩固训练)(学生版+解析)

1.2.4 二面角 课程标准 学习目标 1.理解二面角及其平面角的概念 2.会利用定义法求二面角的大小 3.会用向量法求二面角的大小 1.理解二面角的概念，并会求简单的二面角: 2.理解二面角的平面角的概念，会找二面角的平面角: 知识点01 二面角的概念 1.半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面． 2.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角的面，记作α l β，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作A l B，二面角的范围为[0，π]． 3.二面角的平面角：在二面角α l β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α l β的平面角． 知识点02 二面角的向量求法 定义：如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ．则θ〈n1，n2〉或θπ－〈n1，n2〉，sin θsin〈n1，n2〉． 条件 平面α，β的法向量分别为u，v，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u，v〉φ 图形 关系 θφ θπ－φ 计算 cos θcos φ cos θ－cos φ 【即学即练1】（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形．平面，且，则平面与平面所成的角的大小为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求平面与平面所成的角的大小. 【详解】 因为平面，底面为正方形，， 所以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 由题知，平面PAD的法向量为， 设平面PBC的法向量为， 则，令，则， 所以， 设平面与平面所成的角为，则， 又，所以， 所以平面与平面所成的角的大小为， 故答案为：. 【即学即练2】（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）设，分别为两平面的法向量，若两平面所成的角为80°，则t等于（ ） A．1 B．－1 C．－1或1 D．2 【答案】D 【分析】借助向量夹角公式求解即可. 【详解】因为法向量，所成的角与两平面所成的角相等或互补， 所以，得t±1． ． 难点：动点问题 示例1：（23-24高二下·江苏常州·期末）在棱长为2的正方体中，为的中点，点在正方形内部及其边界上运动，则下列说法正确的有（ ） A．当时，点的轨迹长度为 B．若平面，则长度的最小值为2 C．当时，二面角的余弦值的最小值是 D．记直线与平面所成角为，则的取值范围是 【答案】AD 【分析】建立适当空间直角坐标系后，设出点坐标，对A：利用空间两点间距离公式计算即可得点轨迹，即可得其长度；对B：借助空间向量求出平面法向量可得点轨迹，即可得其长度的最小值；对C：借助空间向量求出两平面的法向量后可得其夹角的余弦值，结合点轨迹即可得其范围；对D：求出平面法向量后借助空间向量夹角公式计算即可得. 【详解】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则有，，设，，， 对A：，故， 则点的轨迹为以为圆心，为半径，且在正方形内部的半圆， 则点的轨迹长度为，故A正确； 对B：，，， 则，，令平面的法向量为， 则有，可令，则，即， 由平面，则有， 即，则 ，故B错误； 对C：，，， 设平面的法向量为， 则有， 可令，则，，即， 易得轴平面，故平面的法向量可为， 则， 由A知，故，即， 则， 故二面角的余弦值的最小值是，故C错误； 对D：，平面法向量为， 则， 由，，则， 故，故D正确. D. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于建立适当空间直角坐标系，从而借助平面的法向量研究位置关系，借助空间向量的夹角公式研究二面角或线面角. 【题型1：定义法求面面角】 例1．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）H是二面角棱上的一点，在平面上引射线HM，在平面上引射线HN，若，，那么二面角的大小为 ... ...