1.2.5空间中的距离 课程标准 学习目标 1．理解图形与图形之间的距离的概念.，提升学生的数学抽象素养 2．理解并掌握两点之间、点到直线的距离的概念及它们之间的相互转化,会用法向量求距离:提升学生的数学抽象数学运算的素养、 1.能用向量方法进行有关距离的计算 2.能用向量方法求点到面的距离 知识点01 两点间的距离 1.两点间距离A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）， |AB|= 2用向量表示 两点间距离=(,,),|AB|= 【即学即练1】（2024高二下·江苏·学业考试）已知点，则=（ ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据两点间距离公式计算即可. 【详解】由已知点的坐标应用两点间距离公式可得. . 【即学即练2】（23-24高二上·宁夏·阶段练习）如图，已知线段在平面内，，且，则 . 【答案】 【分析】根据空间向量的线性表示，结合模长公式，即可求解. 【详解】由于，在平面内，所以,又 所以, 由于,所以, 所以， 故答案为： 知识点02 点到直线的距离 定义：若P为直线l外一点，A是l上任意一点，在点P和直线l所确定的平面内，取一个与直线l垂直的向量n，则点P到直线l的距离为d== 设e是直线l的方向向量，则点P到直线l的距离为d=||sin<,e> 【即学即练3】（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知空间向量，，则B点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点到直线的空间向量距离公式求出答案. 【详解】，，故在上的投影向量的模为， 故B点到直线的距离为. 【即学即练4】（23-24高二上·福建福州·期末）已知向量，则点A到直线的距离为 ． 【答案】1 【分析】根据点到直线距离公式求出答案. 【详解】在方向上投影向量的模为， 所以点A到直线的距离． 故答案为：1 知识点03 点到平面的距离 定义：若P是平面α外一点，PQ⊥α，垂足为Q，A 为平面α内任意一点，设n为平面α的法向量，点P到平面α的距离d= 【即学即练5】（17-18高二上·陕西·期中）已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（ ） A．10 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】利用向量法求点到平面的距离公式即可求解. 【详解】由题得， 所以到平面的距离为， . 【即学即练6】（23-24高二下·江苏·单元测试）已知平面经过点，且的法向量，则到平面的距离为 . 【答案】 【分析】根据点到面距离空间向量公式进行求解即可. 【详解】因为，， 所以到平面的距离， 故答案为： 知识点04 线面间的距离 1.定义：当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离， 2.公式：如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A、B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d． 【即学即练7】（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，， 所以, 设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为 . . 【即学即练8】（23-24高二上·山东淄博·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，进而根据向量夹角公式计算即可； （2）利用向量法求线面距离作答即可. 【详解】（1）在正方体中，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 所以直线与所成角的余弦值为. （2）由（1）知，，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到 ... ...
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