5.1.2 复数的几何意义 学案 (原卷版+解析版)

1.2　复数的几何意义 学习目标 1.理解复数的几何意义,会用复平面内的点与向量表示复数,提升数学抽象与直观想象的核心素养. 2.理解复数的模的概念及几何意义,会求复数的模,发展数学抽象与数学运算的核心素养. 3.理解共轭复数的概念及意义. 知识探究 问题:实数与数轴上的点是一一对应的,复数z=a+bi(a,b∈R)与有序实数对(a,b)有什么对应关系 提示:任何一个复数z=a+bi(a,b∈R),都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定. 知识点1　复数与复平面内的点的对应关系 (1)复平面. ①定义:通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面. ②实轴:在复平面内,x轴称为实轴,实轴上的点都表示实数. ③虚轴:在复平面内,y轴称为虚轴,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. ④原点:复平面内的原点(0,0)表示复数0. (2)复数与复平面内的点的对应关系. 复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点Z(a,b)是一一对应的,即复数z=a+bi　复平面内的点Z(a,b). [思考1] 虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗 提示:不是. [做一做1] 已知复数z=-i,在复平面内的对应点Z的坐标为(　A　) A.(0,-1) B.(-1,0) C.(0,0) D.(-1,-1) 解析:复数z=-i的实部为0,虚部为-1,故在复平面内的对应点Z的坐标为(0,-1). 故选A. 知识点2　复数与复平面内的向量的对应关系 复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的向量=(a,b)是一一对应的,即复数z=a+bi　平面向量. [思考2] 复数与平面向量建立一一对应关系的前提条件是什么 提示:向量的起点是原点.若起点不是原点,则复数与向量就不能建立一一对应关系. [做一做2] 向量a=(1,-2)所对应的复数是(　B　) A.1+2i　B.1-2i　C.-1+2i　D.-2+i 解析:因为复数与向量一一对应,所以向量a=(1,-2)的复数形式为z=1-2i.故选B. 知识点3　复数的模、共轭复数 (1)复数的模. 向量的模称为复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi|.由向量模的定义可知,|z|=|a+bi|=.如果b=0,那么z=a+bi是一个实数a,它的模|z|===|a|(a的绝对值). (2)共轭复数. ①定义:若两个复数的实部相等,而虚部互为相反数,则称这两个复数互为共轭复数. ②表示:复数z的共轭复数用表示.当z=a+bi(a,b∈R)时,=a-bi. ③性质:a.在复平面内,表示两个共轭复数的点关于实轴对称,并且它们的模相等. b.任意一个实数的共轭复数仍是它本身,反之亦然. [思考3] 复数不一定能比较大小,那么复数的模可以比较大小吗 提示:由于复数的模是非负实数,因此复数的模可以比较大小. [思考4] 若复数z的模满足|z|=0,则复数z有何特征 提示:z=0. [思考5] 若复数z满足z=,则复数z有何特征 提示:z∈R. [做一做3] 已知复数z=1+2i(i是虚数单位),则|z|=　　　　. 解析:因为z=1+2i, 所以|z|==. 答案:　 已知z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,则z1,z2互为共轭复数的充要条件是a=c且b=-d. 探究点一　复数与复平面内的点的对应关系 [例1] 实数a分别取何值时,复数z=+(a2-2a-15)i(a∈R)的对应点Z满足下列条件 (1)在复平面的第二象限内; (2)在复平面内的实轴上方. 解:(1)点Z在复平面的第二象限内, 则解得a<-3. (2)点Z在实轴上方,则 即(a+3)(a-5)>0, 解得a>5或a<-3. [变式探究] (1)本例中题设条件不变,求复数z在复平面内的对应点Z在实轴上时,实数a的值; (2)本例中条件不变,如果点Z在直线y=-x-7上,求实数a的值. 解:(1)点Z在实轴上,a2-2a-15=0且a+3≠0,所以a=5. 故当a=5时,点Z在实轴上. (2)因为点Z在直线y=-x-7上, 所以a2-2a-15=--7, 即+(a-4)(a+2)=0, 整理得=0, 故a=-2或a=±. 所以当a=-2或a=±时,点Z在直线y=-x-7上. 求解复数与复平面内的点的对应关系的方法 (1)将复数表示为z=a+bi(a,b∈R)的形式后,确定复数的实部与虚部,从而确定复数的对应点的x,y坐标. (2)根据已知条件,确定实部与虚部满足的关系. 探究点二　复数与复平面内的向量的对应关系 [例2] 已知在复平面内,O ... ...