5.3 复数的三角表示 学案 (原卷版+解析版)

*§3　复数的三角表示 3.1　复数的三角表示式 3.2　复数乘除运算的几何意义 学习目标 1.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示,了解复数的辐角的主值的概念,培养数学抽象与数学运算的核心素养. 2.了解复数乘、除运算的三角表示及几何意义,提升直观想象与数学运算的核心素养. 知识探究 问题:如图,非零复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应点Z(a,b),且r为向量的模,θ是以原点O为顶点,x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线为终边的一个角.能否利用θ,r表示a,b和复数z呢 提示:a=rcos θ,b=rsin θ,z=r(cos θ+isin θ). 知识点1　复数的三角表示式 (1)复数的辐角与模. 以原点O为顶点,x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线为终边的角θ,称为复数z=a+bi(a,b∈R)的辐角. 将满足条件0≤θ<2π的辐角值,称为辐角的主值,记作arg z,即0≤arg z<2π.每一个非零复数有唯一的模与辐角的主值,并且可由它的模与辐角的主值唯一确定.因此,两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. (2)复数的三角形式. 任何复数z=a+bi(a,b∈R)都可以表示为z=r(cos θ+isin θ), 其中r=,cos θ=,sin θ=. 这个式子称为复数z=a+bi(a,b∈R)的三角表示式,简称三角形式.为了与三角形式区分,a+bi称为复数的代数表示式,简称代数形式. [思考1] 非零复数z的辐角唯一吗 提示:非零复数z的辐角不唯一,各角之间相差2π的整数倍. 知识点2　复数乘除运算的几何意义 设z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2). (1)z1·z2=r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2) =r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]. 这就是说,两个复数相乘,积的模等于它们的模的积,积的辐角等于它们的辐角的和.由此可得复数乘法的几何意义: 设复数z1,z2对应的向量分别为,,把向量绕原点O按逆时针方向旋转角θ2(若θ2<0,就要把绕原点O按顺时针方向旋转角|θ2|),再把它的模变为原来的r2倍,所得向量就表示复数z1,z2的乘积. (2)z2≠0,则== [cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]. 这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.由此可得复数除法的几何意义: 设复数z1,z2对应的向量分别为,,把向量绕原点O按顺时针方向旋转角θ2(若θ2<0,就要把绕原点O按逆时针方向旋转角|θ2|),再把它的模变为原来的倍,所得向量就表示复数. [思考2] 如何理解“把向量绕原点O按逆时针方向旋转角θ2” 提示:当θ2>0时,按逆时针方向旋转角θ2;当θ2<0时,按顺时针方向旋转角|θ2|. [思考3] 如何计算复数z=r(cos θ+isin θ)的乘方zn 提示:zn=[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ). 探究点一　复数的三角形式 [例1] 将下列复数化为三角形式(辐角取主值): (1)2(cos-isin); (2)2(-cos+isin); (3)2(sin+icos); (4)z=-+i. 代数形式化为三角形式 将复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R)化为三角形式z=r(cos θ+isin θ)(r>0),可按如下步骤进行: (1)画图,并标出r和θ. (2)求θ和r,其中r=,cos θ=,sin θ=. (3)写出z的三角形式. [针对训练] 将下列复数表示成三角形式(辐角取主值): (1)+i; (2)-2(cos+isin). 探究点二　复数的三角形式的乘除运算 [例2] (1)若z=sin+icos,则z3等于(　　) A.1 B.-1 C.i D.-i (2)复数z1,z2分别对应复平面内的点Z1(1,),Z2(,1),则= 　　　　. 复数三角形式的运算法则 (1)乘法法则:模相乘,辐角相加. (2)除法法则:模相除,辐角相减. (3)复数的n次幂:模的n次幂,辐角的n倍. [针对训练] 计算: (1)10(cos+isin)×5(cos+isin); (2). 学海拾贝 利用复数乘法的几何意义求解旋转问题 [典例探究] 在复平面内,一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1,Z2,Z3,O(其中O为原点).已知Z2对应复数z2=1+i,求Z1和Z3所对应的复数. [应用探究] 如图,复平面内的△AB ... ...