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课件网) 一元函数的导数及其应用 5.2.3 简单复合函数的导数 第一节 导数的概念及其意义 ★第二节 导数的计算（4课时） 第三节 导数在研究函数中的应用 分讲1（1课时） 基本初等函数的 导数公式 分讲2（1课时） 导数的四则运算 法则 ★分讲3（1课时） 简单复合函数的 导数 第五章 一元函数的导数及其应用 分讲4（1课时） 牛顿法—用导数求 方程近似解 基本初等函数的导数公式： 复习引入 导数的四则运算法则： 新知探究一 探究1 ，能否从其他的角度去推导 的导数？ 小明认为： ， 由 可知， 的导数为 即 ， 为何与上述结论不一样？ 新知探究二 思路2：先用二倍角公式将式子展开， 求导可得 探究2 如何求函数 的导数？ 思路1：由 可知 探究3 如何求函数的导数？ 新知探究三 不是基本初等函数，没有求导公式 不是基本初等函数的和、差、积、商，不能用导数的四则运算法则解决这个问题. 因为 以函数为例 设，则，可以看成是由和经过“复合”得到的，即可以通过中间变量表示为自变量的函数. 新知探究三 如果把 与 的关系记作 和，与 的关系记作 ，那么这个“复合”的过程可表示为 . 概念形成 复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作. 内层函数 外层函数 例如，函数是由和复合而成. 例如，函数是由和复合而成. 新知探究四 探究4 如何求复合函数的导数呢？ (1) 猜想 的导数与函数的导数有关. 表示的导数，表示的导数，表示的导数 （3) 另一方面 (2) 一方面 追问1：换个复合函数试试，还能得到这样的结论吗？ 不妨探究的导数，寻找规律 可以发现 新知探究四 追问2 你能利用导数的定义推导简单复合函数的导数吗？ 概念形成 复合函数的求导法则 一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为 追问3：现在能否解决探究3的问题？ 即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 典例分析 探究3 如何求函数的导数？ 函数可以看作函数和的复合函数， 所以 典例分析 例 求下列函数的导数: 解： 探究5 你能总结求复合函数y＝f (g(x))的导数的一般步骤吗？ 方法归纳 (1)观察函数结构，识别构成复合函数的基本初等函数； (2)引入中间变量，运用基本初等函数的求导公式与复合函数的求导法则运算； (3)用中间变量关于自变量的函数替换掉中间变量，得到关于自变量的导数. 分解 求导 回代 巩固练习 1. 求下列函数的导数: 巩固练习 1. 求下列函数的导数: 典例分析 例 某个弹簧震子在震动过程中的位移单位:mm) , 关于时间(单位:)的函数满足关系式 . 求函数在时的导数，并解释它的实际意义. 解：函数 是 与 的复合函数 则 当时， 它表示当时，弹簧震子的瞬时速度为 函数还可以看作哪两个函数的复合函数？ 解：函数化为，看作和的复合函数， 有 当时， . 所以，弹簧振子在的瞬时速度为. 知识应用 课后总结 1.本节课收获了哪些知识？ 2.在获得知识的过程中用到了哪些思想、方法？ 复合函数 简单复合函数求导法则 特殊到一般、转化、化归思想 观察、猜想、归纳 、证明 必做题 1.求下列函数的导数 2.求曲线 在点 处的切线方程. 3. 利用 ， ，证明 课后作业 简单复合函数的一种几何解释 1.阅读探索：请完成下列的填空 问题1 问题2 函数 ， ， 图象可由 图象通过图象变化得到，你能从图象变化的角度结合导数的几何意义对这三个等式做进一步的解释吗 （1） 图象由 图象经过上下___得到， 和 在 处的切线斜率相等，所以 在 处的导数与 在 处的导数___，即 （2） 图象由 图象关于___对称得到， 和 在 处的切线斜率_____，所以 在 处的导数与 在 处的导数____，即 （3） 图象由 图象横坐标不变，纵坐 ... ...
