第三章 空间向量与立体几何--2024-2025学年高中数学北师大版选择性必修一单元测试（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 第三章 空间向量与立体几何--2024-2025学年高中数学北师大版选择性必修一单元测试 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱CD，AD的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 2．如图，在直三棱柱中，，且，则( ) A.2 B.4 C. D. 3．在空间四边形PABC中,( ) A. B. C. D. 4．如图，在三棱柱中，( ) A. B. C. D. 5．如图三棱柱中,G是棱的中点,若,,,则( ) A. B. C. D. 6．已知在四面体中,点M是棱上的点,且,点N是棱的中点,若其中x,y,z为实数,则的值是( ) A. B. C.-2 D.2 7．如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别是，的中点，则直线EF到平面的距离为( ) A. B. C. D. 8．在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．在三棱柱中,D为的中点,,平面,,则下列结论错误的是( ) A.平面平面 B.平面平面 C.平面 D. 10．在棱长为2的正方体中,如图,以D为原点建立空间直角坐标系,E为中点,F为的中点,则( ) A. B. C. D. 11．如图,在平行六面体中,设,,,若M为与的交点,则下列等式正确的是( ) A. B. C. D. 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．如图,棱长为3的正方体的顶点在平面上,三条棱AB,AC,AD都在平面的同侧,若顶点B,C到平面的距离分别为,,则顶点D到平面的距离是_____. 13．正四面体的棱长为2，设，，，则_____. 14．如图,在四棱柱中,底面是平行四边形,点E为的中点,若,则_____. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，M为的中点，且. (1)求； (2)求二面角的正弦值 16．在空间四边形中，连接，设M，G分别是，的中点，化简下列各向量表达式： (1)； (2). 17．如图，在正三棱柱中，底面边长为. （1）设侧棱长为1，求证：； （2）设与的夹角为，求侧棱的长. 18．如图，在三棱台中，，平面，，，，且D为中点.求证：平面； 19．如图所示,已知是平行六面体. (1)化简,并在图中标出其结果; (2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面对角线上的分点,设,试求,,的值. 参考答案 1．答案：D 解析：根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为在棱长为2的正方体中， M，N分别是棱CD，AD的中点， 可知，，， ，，， ，， 所以，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 2．答案：B 解析：由题意，直线，，两两垂直， 故以点B为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系； 由，， 得，，，， 则，， 所以， 故选：B. 3．答案：A 解析：. 故选：A. 4．答案：D 解析：由题意可知： 故选：D 5．答案：A 解析：因为 , 即. 故选:A. 6．答案：B 解析： 故 故选：B. 7．答案：B 解析：以D为坐标原点，，，所在直线为x，y，z轴， 建立空间直角坐标系， 则，，， ，， 则，， 设平面的法向量为， 则， 即， 令，则， 由于，则， 又平面，故平面， 则直线EF到平面的距离即为点E到平面的距离， 又, 设点E到平面的距离为d，即得, 即直线EF到平面的距离为， 故选：B 8．答案：A 解析：以点C为坐标原点， 分别以，，为x轴，y轴，z轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图所示，设， 则，，，， ∴，， ∴直线和直线所成角的余弦值为. 故选：A. 9．答案：ABC 解析：设,以点B为坐标原点,、、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,利 ... ...