4.5 增长速度的比较 课标要求 1.能利用函数的平均变化率,说明函数的增长速度. 2.比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”、“线性增长”、“指数增长”等术语的现实含义. 【引入】 1859年,当澳大利亚的一个农夫为了打猎从外国弄来几只兔子后,一场可怕的生态灾难爆发了.兔子是出了名的快速繁殖者,在澳大利亚它没有天敌,数量不断翻番.到了1950年,澳大利亚的兔子的数量从最初的五只增加到了五亿只,这个国家绝大部分地区的庄稼或草地都遭到了极大损失.绝望之中,人们从巴西引入了多发黏液瘤病,以对付迅速繁殖的兔子.整个20世纪中期,澳大利亚的灭兔行动从未停止过. 这种现象能否用我们所学的数学知识来解释呢 一、平均变化率 探究1 如图,请分别计算两个函数在x=1和x=2处的函数值,你能判断两个函数在区间[1,2]上函数值增加的快慢吗 【知识梳理】 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 (1)定义式:= . (2)实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比. (3)意义:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的 . (4)平均变化率的几何意义:设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是曲线y=f(x)上任意不同的两点,函数y=f(x)的平均变化率为割线AB的 ,如图所示. 温馨提示 不同函数增长模型的变化规律 (1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律. (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律. (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律. 例1 (1)y=2x+1在[1,2]内的平均变化率为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)如图是物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况,下列说法正确的是 ( ) A.在0到t0范围内,甲的平均速率小于乙的平均速率 B.在0到t0范围内,甲的平均速率大于乙的平均速率 C.在t0到t1范围内,甲的平均速率小于乙的平均速率 D.在t0到t1范围内,甲的平均速率大于乙的平均速率 思维升华 平均变化率的大小比较方法: (1)先求平均变化率. (2)对平均变化率化简后比较大小,在区间长度不变的条件下,平均变化率越大,说明函数增长变化也越快. 训练1 (1)在x=1附近,取Δx=0.3,下列四个函数中,平均变化率最大的是 ( ) A.y=x B.y=x2 C.y=x3 D.y= (2)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速率分别为v1,v2,v3,则三者的大小关系(由大到小)为 . 二、几种常见函数模型的增长差异的比较 探究2 你能根据函数 y=2x,y=log2x,y=2x的图象,看出这三个函数图象的变化情况吗 函数的增长速度又如何 【知识梳理】 三种常见函数模型的增长差异 函数 性质 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=kx(k>0) 在(0,+∞)上 的增减性 单调递增 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡峭” 随x的增大逐渐变“平缓” 增长速度不变 形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升 增长速度 y=ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y ... ...
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