2.7.1 抛物线的标准方程--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2.7.1 抛物线的标准方程--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．过抛物线的焦点F的直线l与抛物线在第一象限内的交点为A，与抛物线准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若，，则抛物线的方程为( ) A. B. C. D. 2．已知抛物线的准线为，点P，Q在抛物线C上，且线段的中点为，则直线的方程为( ) A. B. C. D. 3．已知抛物线的顶点在坐标原点,准线方程为,则抛物线的标准方程为( ) A. B. C. D. 4．已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程是( ) A. B. C. D. 5．准线方程为的抛物线的标准方程是( ) A. B. C. D. 6．已知抛物线,过点的直线l交抛物线C于A,B两点,O为坐标原点,若,且,则( ) A. B. C. D. 7．已知抛物线的焦点为,则a的值为( ) A. B.1 C. D.2 8．顶点在原点，关于y轴对称，并且经过点的抛物线方程为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．已知抛物线C的焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为( ) A. B. C. D. 10．抛物线的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到时，，直线l与抛物线相交于A，B两点，点，下列结论正确的是( ) A.抛物线的方程为 B.存在直线l，使得A、B两点关于对称 C.的最小值为6 D.当直线l过焦点F时，以为直径的圆与y轴相切 11．已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有( ) A.双曲线的离心率为2 B.双曲线的渐近线方程为 C. D.点P到抛物线的焦点的距离为4 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．若抛物线上一点与焦点的距离等于2，则_____. 13．已知抛物线上一点A到焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则_____. 14．已知F是抛物线的焦点，P为抛物线上的动点，且点A的坐标为，则的最小值是_____. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知抛物线的焦点F到准线的距离为2. (1)求C的方程； (2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值 16．点在抛物线上，且到抛物线的焦点F的距离为. （1）求抛物线C的方程； （2）过点F的直线交抛物线于B，C两点，且，求直线的方程. 17．已知圆心在y轴上移动的圆经过点，且与x轴、y轴分别交于，两个动点，求点的轨迹方程. 18．根据下列条件写出抛物线的标准方程： （1）焦点是； （2）准线方程是； （3）焦点到准线的距离是2. 19．（例题）如图，已知定点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E，OE与MD相交于点P，求点P的轨迹方程. 参考答案 1．答案：A 解析：点，设点，.因为，所以F为AB的中点，所以所以所以，又点A在第一象限，所以，可得，，所以点，.点A在抛物线准线上的射影为C，则点，所以，，所以，解得或（舍去），所以抛物线的方程为.故选A. 2．答案：A 解析：由抛物线的准线为， 可得，可得，所以， 设， 可得， 且， 两式相减，可得， 可得， 所以直线的方程为， 即. 故选：A. 3．答案：A 解析：因为抛物线的顶点在坐标原点,准线方程为,设抛抛物线的标准方程为, 所以,得,故所求抛物线的标准方程为. 故选：A. 4．答案：B 解析：因为抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程是. 故选：B 5．答案：D 解析：由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在y轴负半轴上的抛物线， 设其方程为，则其准线方程为，得. 该抛物线的标准方程是. 故选：D. 6．答案：B 解析：由题意,不妨设点A再第一象限 ... ...