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课件网) 5.2.3函数的单调性 学习目标 1. 结合实例，借助图象了解函数的单调性与导数的关系． 2. 归纳总结利用导数判断函数单调性的方法． 3. 能运用导数的方法，解决函数的单调性问题． 复习导入 函数的单调性: 一般地，设函数 f(x)的定义域为I，区间D I： （1）如果x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函 f(x)在区间D上 （2）如果x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数 f(x)在区间D上 单调递增. 单调递减. 探究新知 t h a O b (2) t h′(t) a O b (1) 问题1：图(2)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+2.8t+11的图象，a ,b是函数h(t)的零点. 图(1)是跳水运动员的速度v 随时间t变化的函数v(t)=h′(t)=-9.8t+2.8的图象. 观察右面高台跳水的运动轨迹以及其导数的图象，试说明运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？ 探究新知 t h a O b (2) t h′(t) a O b (1) 通过观察图象，可以发现 (1)运动员从起跳到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)单调递增，相应地，v(t)＝h′(t)>0； (2)从最高点到入水，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递减，相应地，v(t)＝h′(t)<0. 探究新知 问题2：我们看到，函数的单调性与)的正负有内在联系. 那么，我们能否由的正负来判断函数的单调性呢 当时，，函数的图象是“下降”的，函数在内单调递减. 对于上述跳水问题，可以发现: 当时，，函数的图象是“上升”的，函数在内单调递增； t h a O b t h a O b 追问：上述结论是否具有一般性呢？ 探究新知 函数 函数图象 单调区间 导函数 导数符号 x y O x y O x y O x y O y′＝1 y′＝3x2 在R上单调递增 在(-∞, +∞)上， y′ >0 在(-∞, 0)上， f (x)单调递减 在(0, +∞)上， f (x)单调递增 在(-∞, 0)上， f ′ (x)<0 在(0, +∞)上，f ′ (x)>0 在(-∞, 0)上， f (x)单调递减 在(0, +∞)上， f (x)单调递增 在(-∞, 0)上， f ′ (x)>0 在(0, +∞)上，f ′ (x)>0 在(-∞, 0)上， f (x)单调递减 在(0, +∞)上， f (x)单调递减 在(-∞, 0)上， f ′ (x)<0 在(0, +∞)上，f ′ (x)<0 观察下面一些函数的图像，探讨函数的单调性与导数的正负的关系： 探究新知 问题3：为什么函数的单调性与导数的正负之间有这样的关系？ 导数f ′(x0) 在区间上， f ′(x)>0 函数y=f (x)的图象在点(x0, f(x0))处切线的斜率 在x=x0处f ′(x0)>0 函数y=f (x)的图象上升，在x=x0附近单调递增 切线“左下右上”上升 在区间上，f (x) 单调递增 函数y=f (x)的图象下降，在x=x1附近单调递减 切线“左上右下”下降 在区间上，f (x) 单调递减 x y O (x0, f(x0)) (x1, f(x1)) 在区间上， f ′(x)<0 在x=x1处f ′(x1)<0 探究新知 1.函数的单调性与导数的关系： 一般地，函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系: 在某个区间(a, b)上,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递增; 在某个区间(a, b)上, 如果f'(x)<0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递减. 问题4：如果在某个区间上恒有f′(x)=0，那么函数f(x)有什么特性 函数y=f(x)在这个区间上是常数函数. 典例讲解 例1：利用导数判断下列函数的单调性 (1) f(x)=x3+3x; (3) f(x)= . x － 1 x (2) f(x)=sinx-x;x 解： (1)因为 单调递增 (2)因为 单调 递减 (3)因为 单调递增 x － 1 x 典例讲解 x y O 1 4 例2： 已知导函数f′(x)的下列信息: 当x<1时，f′(x) < 0； 当x = 1时 ，f′(x) = 0； 当1
0；当x = 4时，f′(x) = 0； 当x >4时，f′(x) < 0.试画出函数f (x)图象 ... ... 
