2.3.3 直线与圆的位置关系 [学习目标] 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系.3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题． 一、直线与圆的位置关系的判断 问题1 如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ 知识梳理 直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 判断方法 代数法：由方程组消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ 0 Δ 0 Δ 0 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d r d r d r 例1 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点；(2)只有一个公共点； (3)没有公共点． 反思感悟 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 跟踪训练1 (1)已知圆C: x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则( ) A．l与C相交 B．l与C相切 C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能 (2)若直线x－y＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝m相离，则实数m的取值范围是( ) A．(0,2] B．(1,2] C．(0,2) D．(1,2) 二、圆的切线问题 知识梳理 直线与圆相切 如图，直线l与圆C相切，切点为P，半径为r.则①CP⊥l； ②点C到直线l的距离d＝|CP|＝_____； ③切点P在直线l上，也在圆上． 例2 (1)过圆C：x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3，3)的切线方程为( ) A．2x－y＋9＝0 B．2x＋y－9＝0 C．2x＋y＋9＝0 D．2x－y－9＝0 (2)过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程． 延伸探究 若例2(2)的条件不变，求其切线长． 反思感悟 过一点的圆的切线方程的求法 (1)点在圆上时 求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程x＝x0或y＝y0. (2)点在圆外时 ①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程． ②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程． 提醒：切线的斜率不存在的情况，不要漏解． 跟踪训练2 (1)已知直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1,2)，则直线l的方程为_____． (2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为( ) A．1 B．2 C. D．3 三、圆的弦长问题 问题2 如果直线与圆相交，如何求弦长？ 知识梳理 如图，直线l与圆C相交于A，B，半径为r，弦AB中点为D，则 ①点C到直线l的距离d＝|CD|，称为弦心距； ②CD⊥l； ③|AD|2＋d2＝r2，|AB|＝_____. 例3 求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦AB的长． 反思感悟 求直线与圆相交时的弦长有三种方法 (1)交点法：联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝. (2)弦长公式：|AB|＝＝|x1－x2|或|AB|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在且不为0)． (3)几何法：设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则|AB|＝2. 通常采用几何法较为简便． 跟踪训练3 (1)已知圆C与y轴相切，圆心在x轴的正半轴上，并且截直线x－y＋1＝0所得的弦长为2，则圆C的标准方程是_____． (2)如果一条直线经过点M且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程． 1.知识清单： (1)直线与圆的位置关系． (2)圆的切线问题． (3)圆的弦 ... ...
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