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课件网) 5.3.2函数的极值与最大（小）值 （第一课时） 学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件. 复习旧知 如果在某个区间内恒有 ,则 为常数. 用“导数法” 求单调区间的步骤: 注意：函数定义域 ③求单调区间 注:单调区间不 以“并集”出现。 问题导入 在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？ 探究新知 x O a b 问题1：函数在处附近的图象有什么特点 相应地, 导数的正负性有什么变化规律 归纳: 函数 在点 处 ,在 的附近, 当 时,函数h(t)单调递增， ; 当 时,函数h(t)单调递减, 。 a 对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？ y 探究新知 问题2： 如图示，函数y=f(x)在x=a, b, c, d, e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系 y=f(x)在这些点的导数值是多少 在这些点附近，y=f(x)的导数的正负性有什么规律 探究新知 以x=a, b两点为例, 可以发现, 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小, f′(a)=0; 而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0, 右侧f′(x)>0. 类似地, 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大, f'(b)=0; 而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0, 右侧f'(x)<0. 讲授新知 我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点， f (a)叫做函数y=f(x)的极小值；b叫做函数y=f(x)的极大值点， f (b)叫做函数y=f (x)的极大值； 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质. 极值点与极值： 探究新知 问题3：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？ 导数值为0的点不一定是函数的极值点 例如，对于函数，我们有. 虽然，但由于无论x>0，还是x<0，恒有，即函数 是增函数， 所以0不是函数 的极值点 一般地，函数y=f(x)在一点的导数值为0是函数y=f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件. x y o 讲授新知 (1)极值点不是点； (2)极值是函数的局部性质； (3)函数的极值不唯一； (4)极大值与极小值两者的大小不确定； (5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点； (6)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点. 总结： 讲授新知 函数极值的判定: O a x0 b x y x x0左侧 x0 x0右侧 f′(x) f(x) O a x0 b x y x x0左侧 x0 x0右侧 f′(x) f(x) 增 f′(x) >0 f′(x) =0 f′(x) <0 极大值 减 f′(x) <0 f′(x) =0 增 减 极小值 f′(x) >0 左正右负为极大，左负右正为极小 左增右减为极大，左减右增为极小 f′(x) f(x) 应用新知 课堂练习： 1.函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断： ①函数y＝f(x)在区间(3,5)内单调递增； ②函数y＝f(x)在区间 内单调递减； ③函数y＝f(x)在区间(－2,2)内单调递增； ④当x＝ 时，函数y＝f(x)有极大值； ⑤当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值. 则上述判断中正确的序号是_____. ③⑤ 应用新知 课堂练习： 2 2.已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 典例讲解 例5：求函数 的极值. 解:∵ ∴ 由 ，得：x＞2,或x＜-2时; 令 解得x=2,或x=-2. 由 ， 得：-2 ＜ x＜2时。 当x变化时， 的变化情况如下表： ∴当x=-2时, f(x)的极大值为 当x=2时, f(x)的极小值为 巩固新知 跟踪练习：1.求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5； 函数f(x)的定义域为R. f′(x ... ...
