二次根式的运算的四种类型 专项训练 含答案

中小学教育资源及组卷应用平台 二次根式的运算的四种类型 专项训练 类型一：利用基础法则进行计算 1．计算： (1)； (2)； (3)． (4)； (5)． (6)； (7)； (8)． (9)． (10)； 类型二：运用乘法公式进行计算 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 类型三：运用等式规律进行计算 3．阅读下列材料，然后解答下列问题： ； ； ； 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)_____． (2)（n为正整数）=_____． (3)化简：_____． (4)化简下列式子的值：． 4．【阅读材料】 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 (1)仿照上面的解题过程，化简：_____． (2)计算：． (3)已知，求的值． 5．材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：； ．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小： （填“”，“”或“”）； (2)计算：； (3)若，求的值． 6．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，将变成，即变成，从而使得以化简． (1)例如，∵， ∴_____，请完成填空． (2)仿照上面的例子，请化简； (3)利用上面的方法，设，，求A＋B的值． 7．小明在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解的： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)____，_____． (2)化简：． (3)若，请按照小明的方法求出的值． 8．阅读材料： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子，分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：；． 解答下列问题： (1)根据以上概念直接在横线上写出的一个有理化因式 ； (2)若，求的值； (3)请在以下问题①和②任选一个题作答： ①设实数，满足，求的值． ②化简：． 类型四：与二次根式有关的化简求值运算 9．计算：已知，，，求的值． 10．已知：，．计算： (1)； (2)． 11．若，，求代数式的值． 12．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 13．我们已经知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4．例如：，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决下列问题： 已知． (1)化简a，b； (2)求代数式的值． 14．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有：（a＞b） 例如：化简 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12 即， ∴= （1）填空：＝　 　，＝　 　； （2）化简：． 15．已知． (1)化简x，y； (2)求代数式的值； (3)若x的小数部分为a，求的值． 16．先化简，后求值：，其中，． 参考答案 1．(1) (2) (3)2 (4) (5) (6)4 (7)17 (8) (9) (10) 【分析】本题考查了二次根式的混合、零次幂的性质、绝对值的性质． （1）先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先根据算术平方根、立方根、零指数幂、绝对值的运算法则计算，再合并即可； （3）先算括号里面的，再算二次根式的除法即可； （4）先分母有理化，再根据二次根式的性质计算，然后合并即可； （5）先根据二次根式的乘除法法则运算，再把各二次根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可； （6）先根据二次根式的性质化简，然后进行有理数的加减运算； （7）先根据二次根式的 ... ...