第二章 习题课　均值不等式及其应用（课件+学案+练习，共3份）人教B版（2019）必修 第一册

习题课　均值不等式及其应用 课标要求　1.掌握均值不等式并能利用均值不等式解决问题. 2.理解均值不等式成立的条件. 一、利用均值不等式比较大小 例1 已知0Q>M B.M>P>Q C.Q>M>P D.M>Q>P 思维升华　运用均值不等式比较大小的注意点 (1)要灵活运用均值不等式，特别注意其变形. (2)应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b. 训练1 (多选)设a，b为非零实数，则下列不等式恒成立的是(　　) A.≥ab B.≥ C.≥ D.＋≥2 二、连续运用均值不等式求最值 例2 已知a>b>0，则a2＋的最小值为_____. 思维升华　多次使用均值不等式时，一定要保证几次等号成立的条件能同时成立，要善于发现“定值”，在使用时可采用拼凑法、换元法、常数代换等方法. 训练2 (1)若实数a，b满足ab>0，则a2＋4b2＋的最小值为_____. (2)若m>0，n>0，则n＋＋的最小值为_____. 三、利用均值不等式求参数的范围 例3 已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　 ) A.2 B.4 C.6 D.8 思维升华　求参数的值或取值范围的一般方法 (1)分离参数，转化为求代数式的最值问题. (2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围. 训练3 (1)已知当x>0时，不等式x2－mx＋16>0恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A.m≤8 B.m<8 C.m≥6 D.m>6 (2)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于(　　) A.10 B.9 C.8 D.7 四、与其他知识的交汇 例4 设y＝ax2－4x＋c(x∈R)的最小值为0，则＋的最小值为(　　) A.3 B. C.5 D.7 思维升华　对于均值不等式和其他知识交汇问题，一般以其他知识为载体，通过对所给条件(其他知识)的研究，得到一个等式，在此条件下利用均值不等式解决问题. 训练4 已知点P(x，y)在一次函数y＝－4x＋2的图象上运动，则它的横、纵坐标之积取得最大值时，点P的坐标为(　　) A.(1，－2) B. C. D. 【课堂达标】 1.已知01时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，2] B.[2，＋∞) C.(3，＋∞) D.(－∞，3] 3.已知4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a的值为_____. 4.若a>0，b>0，则＋＋b的最小值为_____. 习题课　均值不等式及其应用 例1　B　[因为0P>Q.] 训练1　AB　[由a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立,可知A正确; ,当且仅当a=b时等号成立,可知B正确; 当a=b=-1时,不等式的左边为=-1, 右边为,可知C不正确; 当a=1,b=-1时,可知D不正确.] 例2　4　[由a>b>0,得a-b>0, ∴b(a-b)≤. ∴a2+=4, 当且仅当b=a-b且a2=,即a=,b=的最小值为4.] 训练2　(1)4　(2)4　[(1)因为ab>0, 所以a2+4b2+=4,当且仅当 即时等号成立. (2)因为m>0,n>0, 则n+ =n+=4, 当且仅当n=2m=2时,原式取得最小值4.] 例3　B　[已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立, ∵(x+y)+1, 当且仅当y=x时,等号成立, ∴a+2+1≥9,∴≤-4(舍去), ∴a≥4,即正实数a的最小值为4.] 训练3　(1)B　(2)B　[(1)当x>0时,不等式x2-mx+16>0恒成立,即当x>0时,不等式m0,b>0,所以2a+b>0, 所以要使恒成立, 只需m≤(2a+b)恒成立, 而(2a+b)+1≥5+4=9,当且仅当a=b时,等号成立,所以m≤9. 所以m的最大值为9.] 例4　A　[由题意知a>0,二次函数的图象与x轴有两个相同的交点,则Δ=16-4ac=0, 所以ac=4,c>0.则=3, 当且仅当时取等号,则的最小值是3.] 训练4　B　[由题意知y=-4x+2, 所以4x+y=2,xy取到最大值时,一定有x>0,y>0,所以4x+y≥2, ... ...