5.7 切线长定理（学案，含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 第五章 圆 7 切线长定理 列清单·划重点 知识点1 尺规作图：过圆外一点 P，作⊙O的切线. 已知:⊙O和⊙O外一点 P; 求作：过点 P 作⊙O 的切线. 作法:①连接OP; ②作线段 OP 的垂直平分线MN，垂足为点C； ③以点 C 为圆心，CO为半径画圆，交⊙O于点A,B; ④作直线 PA,PB,则直线 PA,PB 即为所求作. 知识点2 切线长 过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的 . 知识点3 切线长定理 1.从圆外一点引圆的两条切线，它们的 相等. 2.数学符号语言： ∵PA,PB 是⊙O的两条切线,A,B 为切点,∴PA=PB. 注意 (1)切线是直线，没有长度，不能度量.定理中的切线长相等，是指这点与两切点之间的线段长相等； (2)利用切线长定理可以证明线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系.如图所示，还可得AD=BD,∠APO=∠BPO,AC=BC,△PAB为等腰三角形等. 明考点·识方法 考点1 切线长定理的应用 典例1 如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形 脸 恰 好 与 帽子 边沿PA,PB分别相切于点A,B,不倒翁的鼻尖正好是圆心O,若∠OAB=28°,则∠APB的度数为 ( ) A.28° B.50° C.56° D.62° 思路导析 由切线长定理得 PA=PB，进而借助切线的性质得 进而得 变式 如图,PA,PB 分别切⊙O于 A,B,PA=10 cm,C是劣弧AB 上的点(不与点 A,B重合),过点 C的切线分别交 PA,PB于点E,F.则△PEF的周长为 cm. 考点2 切线长定理在圆外切三角形中的应用 典例2 如图所示，在△ABC中,AB=5 cm,BC= 7 cm,AC=8cm ,⊙O 与 BC,AC,AB分别相切于点 D,E,F,求AF,BD和CE 的长. 思路导析 由切线长定理可知 BF=BD，AF=AE,CE=CD,设AE=AF=x,则 BF=BD=5-x,EC=DC=8-x.而 BD+DC=7,通过列方程可求出x的长. 变式 如图，在四边形材料ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AD=9 cm,AB=20cm,BC=24 cm.现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是( ) 考点3 切线长定理在圆外切四边形中的应用典例3 如图所示，四边形ABCD的边 典例微课与⊙O分别相切于点E,F,G,H,判断AB,BC,CD,DA之间有怎样的数量关系，并说明理由. 思路导析 直接利用切线长定理得出DH=DG，CG=CF,BE=BF,AE=AH,进而得出答案. 规律总结 (1)圆的外切四边形的对边之和相等. (2)圆外切平行四边形是菱形，圆外切矩形是正方形. (3)若一个四边形的两组对边之和相等，则这个四边形是某个圆的外切四边形.换言之，若一个四边形的两组对边之和相等，则这个四边形有一个内切圆. 变式 如图，⊙O为四边形ABCD 的内切圆,∠A=∠B=90°,AD=4,BC=6,求⊙O的半径. 当堂测·夯基础 1.如图,四边形ABCD外切于⊙O,且AB=10,CD=15,则四边形ABCD的周长为( ) A.60 B.55 C.45 D.50 第1题图 第2题图 2.如图,△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D 是其中的一个切点,已知AD=10 cm,小明准备用剪刀沿着与⊙O 相切的任意一条直线 MN 剪下一块三角形(△AMN),则剪下的△AMN 的周长为( ) A.20 cm B.15 cm C.10 cm D.随直线 MN 的变化而变化 3.以正方形 ABCD的AB 边为直径作半圆O，过点 C 作直线切半圆于点 F，交 AB边于点E，若△CDE 的周长为12，则直角梯形 ABCE周长为 ( ) A.12 B.13 C.14 D.15 4.如图,⊙O 内切于正方形ABCD,O为圆心,作∠MON=90°,其两边分别交 BC,CD于点N,M,若CM+CN=10,则⊙O的面积为 . 5.如图,PA,PB 是⊙O的切线,CD 切⊙O于点E,△PCD 的周长为12,∠APB=60°.求: (1)PA的长; (2)∠COD的度数. 参考答案 【列清单·划重点】 知识点 2 切线长 知识点 3 1.切线长 【明考点·识方法】 典例1 C 解析:∵PA,PB分别切⊙O于点A,B,∴PA=PB,OA⊥PA, 变式 20 典例2 解:∵⊙O 与 BC,AC,AB 分别相切于点D,E,F, ∴AE=AF,BF=BD,EC=DC. 设AE=AF=x cm,则 BF=BD=(5-x) cm,CE=DC=(8-x) cm, ∴BD+DC=(5-x)+(8-x)=7.解得x=3,即AF=3cm, ∴BD=BF=5-3=2( ... ...