第三章 空间向量与立体几何--2024-2025学年高中数学北师大版选修一单元测试（含解析）

第三章 空间向量与立体几何--2024-2025学年高中数学北师大版选修一单元测试 本试卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项: 1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。 答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。 2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．在三棱柱中，设，，，M，N分别为，的中点，则( ) A. B. C. D. 2．已知P,Q,R是长方体表面上任意三点,且,,,则的最小值为( ) A.-14 B.-13 C.-10 D.-5 3．空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线l的方程为，则直线l与平面所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 4．在四面体中,M、N分别是棱、的中点,P是的中点,设,,,则( ) A. B. C. D. 5．如图,已知三棱锥,点M为的中点,且,,,用,,表示,则等于( ) A. B. C. D. 6．如图,已知空间四边形OABC,其对角线OB,AC,M,N分别是对边OA,BC的中点,点G在线段MN上,且,现用向量,,表示向量,设,则x,y,z的值分别为( ) A.,, B.,, C.,, D.,, 7．如图，在正方体中，M，N分别为，的中点，则直线和夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. 8．空间四边形OABC中,,,,点M在OA上,,点N为BC的中点,则( ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．在棱长为2的正方体中,如图,以D为原点建立空间直角坐标系,E为中点,F为的中点,则( ) A. B. C. D. 10．如图,在平行六面体中,设,,,若M为与的交点,则下列等式正确的是( ) A. B. C. D. 11．如图，四棱柱中，M为的中点，Q为上靠近点的五等分点，则( ) A. B. C. D. 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．已知两个向量,,则_____. 13．在四面体中，，，点M为棱BC的中点，则_____.（用，，表示）. 14．如图,在四棱锥中,平面,底面为正方形,,点E,F分别为,的中点,点T为内的一个动点（包括边界）,若平面,则点T的轨迹的长度为_____. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（例题）证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 已知：如图，，，，，. 求证：. 16．如图，在正方体中，E，F分别是面，面的中心.求证：平面. 17．如图，正三棱柱的所有棱长都为2，求平面与平面夹角的余弦值. 18．（例题）如图，在直三棱柱中，，，，P为BC的中点，点Q，R分别在棱，上，，.求平面PQR与平面夹角的余弦值. 19．如图，在三棱锥中，，，M，N分别是AD，BC的中点.求异面直线AN，CM所成角的余弦值. 参考答案 1．答案：B 解析： 故选：B. 2．答案：B 解析：取QR中点为M,由极化恒等式,. 又P,Q,R是长方体表面上任意三点, 所以当Q,R位于体对角线的两个端点时,最大,最大值为56. 此时M为长方体的中心,则当P位于长方形ABCD中心时,的值最小, 最小值为1,所以的最小值为-13, 故选：B. 3．答案：B 解析：因为平面的方程为，故其法向量为， 因为直线l的方程为，故其方向向量为， 故直线l与平面所成角的正弦值为 . 故选：B. 4．答案：C 解析：因为N为的中点,则,即, 所以,, 因为P、M分别为、的中点, 同理可得, 故选:C. 5．答案：C 解析：因 ... ...