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课件网) 第六章 平面向量 及其应用 6.1 平面向量的概念 「学习目标」 1.了解平面向量的实际背景,理解平面向量的相关概念,达成数学抽象的核心素养. 2.掌握向量的表示方法,理解向量的模的概念,达成数学抽象的核心素养. 3.理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念,达成数学抽象、逻辑推理的核心素养. 知识梳理 自主探究 「知识探究」 1.向量的概念及表示 (1)定义:既有 又有 的量叫做向量. (2)表示: ①有向线段:具有 的线段叫做有向线段.它包含三个要素: 、 、 . 大小 方向 方向 起点 方向 长度 (3)两个特殊向量: ①零向量与非零向量: ②单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量. 2.相等向量与共线向量 (1)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a,b平行,记作a∥b.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a. (2)相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a与b相等,记作a=b. 拓展总结 对相等向量与共线向量的理解 (1)理解平行向量的概念时,需注意平行向量和平行直线是有区别的,平行直线不包括重合的情况,而平行向量是可以重合的. (2)共线向量就是平行向量,其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义.实际上,共线向量(平行向量)有以下四种情况:方向相同且模相等;方向相同且模不等;方向相反且模相等;方向相反且模不等.这样,也就找到了共线向量与相等向量的关系,即共线向量不一定是相等向量,而相等向量一定是共线向量. (3)向量相等具有传递性,即a=b,b=c,则a=c.而向量的平行不具有传递性,若a∥b,b∥c,未必有a∥c.因为零向量平行于任意向量. 师生互动 合作探究 探究点一 向量的有关概念 [例1] (多选题)下列说法错误的是( ) B.两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的终点相同 C.零向量没有方向 D.若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等 √ √ √ 解析:两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的方向不一定相同,终点也不一定相同;零向量的模都是0,有方向,方向可以为任意的;两个单位向量也可能反向,则不相等,故选项B,C,D都错误,A正确.故选BCD. 方法总结 解决与向量概念有关问题的方法 解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心———方向和长度,只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的 问题. [针对训练] (多选题)下列说法正确的是( ) A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小 B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的向量可以比较大小 C.若将所有的单位向量平移到同一起点,则它们的终点可以构成一个单位圆 D.向量的模可以比较大小 √ √ 解析:不管向量的方向如何,它们都不能比较大小,故A,B不正确;C选项显然是正确的;向量的模是一个数量,可以比较大小,故D正确. 故选CD. 探究点二 向量的表示 [例2] 在如图所示的方格纸上,已知向量a,每个小正方形的边 长为1. 解:(1)根据相等向量的定义,所作向量应与a平行,方向与a相同,且长度相等,如图. (1)试以B为始点画一个向量b,使b=a; (2)画一个以C为始点的向量c,使|c|=2,并说出c的终点的轨迹是什么,然后作出轨迹; 解:(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c.所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心,2为半径的圆,如图. (3)试以C为始点画一个向量d,使|d|=3,且d与a方向相反. 解:(3)如图. 方法总结 向量的两种表示方法 (1)几何表示法:先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向量的长度确定向量的终点. [针对训练] 在如图所示的坐标纸(规定每个小方格的边长为1) 中,用直尺和圆规画出下列向量: 探究点三 相等向量与共线向量 (1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些 (2)与a共线的向量有哪些 (3)请一一列出与a,b,c相等的向量. 方法总结 共线向量或相 ... ...
