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课件网) 6.4.3 余弦定理、 正弦定理 第1课时 余弦定理 「学习目标」 1.借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,体会数学抽象及逻辑推理的核心素养. 2.通过利用余弦定理及推论解三角形,发展逻辑推理及数学运算的核心素养. 知识梳理 自主探究 「知识探究」 1.余弦定理 (1)文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和 这两边与它们夹角的 的积的两倍. (2)符号语言:在△ABC中,a2= ,b2= , c2= . 减去 余弦 b2+c2-2bccos A c2+a2-2cacosB a2+b2-2abcos C 2.余弦定理的推论 在△ABC中,cos A= ,cos B= ,cos C= . 3.解三角形 一般地,三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的 .已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 . 元素 解三角形 师生互动 合作探究 探究点一 已知两边及一角解三角形 60 4或5 方法总结 已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角,可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解. (2)若已知角是两边的夹角,则直接运用余弦定理求出另外一边. 求出第三边后,再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角. √ √ 探究点二 已知三边解三角形 A.90° B.120° C.135° D.150° √ 方法总结 已知三角形的三边解三角形的方法 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理的推论求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角. 注意:若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入k,从而转化为已知三边求解. √ 探究点三 判断三角形的形状 [例3] 在△ABC中,已知acos A+bcos B=ccos C,试判断△ABC的形状. 通分得a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)+c2(c2-a2-b2)=0, 展开整理得(a2-b2)2=c4. 所以a2-b2=±c2,即a2=b2+c2或b2=a2+c2. 根据勾股定理知△ABC是直角三角形. 方法总结 利用余弦定理判断三角形形状的两种途径 (1)化边的关系:将条件中的角的关系,利用余弦定理化为边的关系,再变形进行判断. (2)化角的关系:将条件转化为角与角之间的关系,通过三角变换得出关系进行判断. [针对训练] (1)在△ABC中,AB=5,BC=6,AC=8,则△ABC的形状是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断 √ (2)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a+ccos A= b+ccos B,则△ABC为( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 √ 「当堂检测」 1.在△ABC中,a=7,b=3,c=5,则A等于( ) A.30° B.60° C.90° D.120° √ A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 √ 3.在△ABC中,若a2+b2-c2=ab,则C= . 60° 4.若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C= 60°,则ab的值为 . 谢 谢 观 看 ... ...
