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课件网) 8.3.2 圆柱、圆锥、 圆台、球的表面积和体积 「学习目标」 1.了解圆柱、圆锥、圆台的侧面展开及体积之间的关系,培养逻辑推理的核心素养. 2.通过求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积,培养直观想象及数学运算的核心素养. 知识梳理 自主探究 几何体 侧面展开图 表面积公式 圆柱 S圆柱=2πr(r+l),r为 , l为 圆锥 S圆锥=πr(r+l),r为 , l为 圆台 S圆台=π(r′2+r2+r′l+rl), r′为 ,r为 , l为 「知识探究」 1.圆柱、圆锥、圆台的表面积 底面半径 母线长 底面半径 母线长 上底面半径 下底面半径 母线长 2.圆柱、圆锥、圆台的体积公式 V圆柱= (r是底面半径,h是高); V圆锥= (r是底面半径,h是高); V圆台= (r′,r分别是上、下底面半径,h是高). 3.柱体、锥体、台体的体积公式 (1)柱体:柱体的底面积为S,高为h,则V柱体= . (2)锥体:锥体的底面积为S,高为h,则V锥体= . (3)台体:台体的上、下底面面积分别为S′,S,高为h,则V台体= . πr2h Sh (4)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系. 4.球的表面积和体积 (1)S球= (R是球的半径). (2)V球= (R是球的半径). 4πR2 师生互动 合作探究 探究点一 圆柱、圆锥、圆台的表面积和侧面积 [例1] (1)已知圆台O1O上下底面圆的半径分别为1,3,母线长为4,则该圆台的侧面积为( ) A.32π B.26π C.16π D.8π √ (2)(多选题)以长为4 cm,宽为3 cm的矩形的一边所在直线为旋转轴旋转而成的圆柱的表面积可以为( ) A.16π cm2 B.24π cm2 C.42π cm2 D.56π cm2 √ 解析:(2)当圆柱底面半径为4 cm,高为3 cm时, 表面积S=2π×4×3+2π×42=56π(cm2); 当圆柱底面半径为3 cm,高为4 cm时, 表面积S=2π×3×4+2π×32=42π(cm2).故选CD. √ 3π 方法总结 求旋转体侧面积及表面积的要点 (1)因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素,所以处理好轴截面中边角关系是解题的关键. (2)对于圆台问题,要重视“还台为锥”的思想方法. (3)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时,应根据已知条件先计算出它们的母线和底面圆半径的长,而求解这些未知量常常需要列方程. [针对训练] (1)以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周,所得到的几何体的表面积为( ) A.2π B.4π C.8π D.16π √ 解析:(1)由题意知,所得几何体为高和底面半径均为2的圆柱体,所以几何体表面积为2π×22+2π×2×2=16π.故选D. √ (3)一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半,且侧面积是32π,则母线长为 . 4 探究点二 圆柱、圆锥、圆台的体积 √ (2)已知圆柱母线长等于2,过母线作截面,截面的最大周长等于8,则该圆柱的体积等于( ) A.π B.2π C.4π D.8π √ 解析:(2)当过母线作截面,截面的周长最大时,此时截面为轴截面. 设圆柱的底面半径为r,则 因为过母线作截面,截面的最大周长等于8, 所以2×(2+2r)=8,解得r=1. 所以该圆柱的体积为π×12×2=2π.故选B. √ 方法总结 求解圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是根据条件找出相应的底面积和高,对于旋转体要充分利用旋转体的轴截面,将待求的量转化到轴截面内求. √ √ (3)已知一个圆锥的底面半径为6,其侧面积为60π,则该圆锥的体积为 . 96π √ 探究点三 球的表面积和体积 [例3] (1)已知正四棱锥各棱的长度均为2,其顶点都在同一个球面上,则该球的表面积是( ) √ √ 方法总结 (1)求球的体积与表面积的方法 ①要求球的体积或表面积,必须知道半径R或通过条件求出半径R,然后代入体积或表面积公式求解. ②半径和球心是球的最关键要素,把握这两点,计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了. (2)有关球的截面问题的解题技巧 ①有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的问题. ②解 ... ...
